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 On a l'identité (due à M. Hermite) 



(P2' + Qz--f- Rz + S;- - c'r-5]{o- - a\)-l 



= [o-- (i + az) (i ■+■ bz] — c-z] [<7? (i + az) (i -4- hz) — c- z] 



ou 



z = s. I — z. I + az. I -+- hz. r — ahz, 



et alors les valeurs de P, Q, R, S sont 

 F = — nbsjabaa^ [-ja, rî, 4- yiO-o), 



Q = \jabGG, [— {a-\- b — \jnb) 7(7, o, — {a -\- b + \Jab) y, c5j 

 -4- c-\/ab{à7, 7i 4- 0, r;-/)., 



R =r (7(7, [ (rt -1- Z) — v'rt^') 7<^i Oi — {n -]- b -h \/nb) 7, 70 ] 



-h C'(t?(7,7, - C?,(77), 



S = ffc7, (77, r}, — 7, cr(^), 



lesquelles peuvent aussi s'écrire comme il suit : 



P = — abaa,^, 



Q = — ab (7(7, 'Ç — c-\JahGG, [I'^g, 0, -h Z;-7i «rc?) + c-sjab {'iG,y, -+- 5, (77), 



R = (7(7,S -+- c-(7(7, {l-yG,â, — k'-y^G(i) + c-(t?<;,7i — 0,(77), 



S = (7C7, Ç, 



et je remarque l'équation 



P + Q + R 4-S=^ c'yy,{- k' G'i, rf, v Vg, 7c?) 

 -=c=77,v). 



» En écrivant successivement z = j:', z ~ 7", et en choisissant convena- 

 blement les signes des radicaux, on obtient 



P.r' +Q.r= -i-R^ + S = co5,(cr= - c7j)vX, 

 p^3 ^ Q^.= ^ R^, + S = c^^, {g- - g\\ s/Y; 



on conçoit sans peine que c'est à cause de ces expressions rationnelles des 

 radicaux que l'intégration des équations différentielles réussit. » 



