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 quables, que si, en chacun d'eux, on place, par la pensée, deux surfaces 

 identiques entre elles et disposées parallèlement l'une à l'autre, comme 

 dans le cas du dédoublement du § 5, les rapports mutuels des quantités 

 de réfractions afférentes aux foyers conjugués et principaux, considérées 

 dans les milieux extrêmes, formeront luie somme constante et égale à l'u- 

 nité. 



» Cette identité établit, comme conséquence, celle de toutes les relations 

 et formules entre les systèmes simples et composés. » 



MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur la formule a"" -f- r. Note du P. Pépin. 

 (Commissaires : MM. Hermite, O. Bonnet.) 



K Les Comptes rendus du i6 juillet dernier renferment une méthode in- 

 génieuse pour reconnaître si le nombre 



n„ = 2-" + I 



est premier ou composé. Il est un cas cependant où l'emploi de cette mé- 

 thode laisserait la question indécise; c'est celui où le nombre a„, au lieu 

 de diviser le dernier terme de la série formée par M. Lucas, divise un terme 

 de rang a<<2""'; tout ce que l'on peut conclure alors, c'est que 

 les diviseurs premiers de ^„ appartiennent à la forme linéaire a""^-^ + i. 

 Le nombre a„ est-il premier ou composé? On ne peut rien affirmer, si 

 « + 2 ne surpasse pas a""^. 



» Néanmoins cette question peut être résolue sans incertitude par une 

 méthode analogue à celle de M. Lucas et qiù se déduit du théorème sui- 

 vant : 



Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour que le nombre 



fl„ = 2-" + I soit premier, quand n esf^i, est que le nombre 5^^"'"'^ -+- 1 soit 

 divisible par a„. 



» i" Cette condition est nécessaire; car, n étant > i , le nombre a,, est 

 congru à 2 suivant le module 5; ci„ est donc non-résidu quadratique de 5; 

 et réciproquement 5 est non-résidu de a,„ si ce dernier nombre est premier. 

 Or tous les non-résidus quadratiques de a„ vérifient la congruence 



(0 o;'^""— ^=-1 (mod. rt„); 



