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 si donc rt„ est premier, il divise nécessairement le nombre 



» 2° Cette condition est suffisante; car, lorsqu'elle est remplie, on en 

 déduit que tout diviseur premier de a„, autre que l'unité, est égal à a„. 

 Soit, en effet, P un diviseur premier de a„\ on aurn, par hypothèse, les con- 

 gruences 



(a) 5^-""-^+i=2o, S''''-'^! (mod.P); 



et, par le théorème de Fermât, 



(3) 5P-is=i (mod.P). 



Le plus grand commun diviseur des deux nombres P — i , rt„ — i est une 

 puissance de 2; désignons-le par 2'. On conclut d'abord, descongruences(2) 

 et (3), que l'on a aussi 



(4) 5=' = i (mod.P). 



Or 2* ne peut être inférieur à rt„ — i; car, dans cette hypothèse, 2* serait 

 diviseur de {(o„ — i), et l'on déduirait de la formule (4) 



5-:K-0^, (mod.P); 

 on aurait donc, en même temps, les deux congruences 



Ô'^^-'^+i^o, et 5^^"-')- 1 = (mod.P), 



ce qui est manifestement impossible. Le plus grand commun diviseur 2!^ des 

 deux nombres P — i et fl,. — i est donc rt„ — i, et, comme P est diviseur 

 de (7„, il est nécessaire que P = «„, c'est-à-dire que le nombre a^ n'ait pas 

 d'autre diviseur premier que lui-même et l'unité. La congruence (2) suffit 

 donc, lorsqu'elle est vérifiée, pour nous assurer que «„ est premier. 



» Pour reconnaître si la congruence (2) est vérifiée, oui ou non, on for- 

 mera la suite 



(A) 5% 5', 5% ..., 5='"-', 



composée de 2" — i termes, dont chacun est le carré du précédent; mais 

 on aura soin de réduire chaque terme à son résidu minimum suivant le mo- 

 dule (7„, de sorte que toutes les opérations nécessaires se réduiront à élever 

 au carré des termes dont le nombre des chiffres ne surpasse jamais celui des 

 chiffres de <7„. Soit, par exemple, « = 6; la suite (A) se compose de soixante- 



