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 position n'est pas exacte. En effet, pour B = 12, /^. = 2, on peut prendre 



« = I — 



Aa:' A-x' A^œ^' 



et, plus généralement, les théorèmes de M. Liouville montrent que la pro- 

 position précédente est fausse lorsque B est de la forme i5(/3 + i), jS étant 

 un nombre entier positif (même volume, p. 12). 



» J'ai fait ces remarques dans un Mémoire de 1864, où je cherchais à 

 démontrer rigoureusement les conclusions de M. Liouville en suivant la 

 voie tracée par lui-même; mais une erreur de signe affecta mes calculs et 

 rendit ma démonstration insuffisante. Ayant repris plus tard ce sujet, je 

 suis parvenu à compléter la démonstration de deux manières difféi-entes 

 dont je vais indiquer la plus simple. Je me fonde toujours sur la théorie de 

 M, Liouville, qui a le mérite d'avoir inauguré et accompli en grande partie 

 ces recherches difficiles. 



» Le raisonnement étant exact pour ti positif, il est donc déihontré que u 

 ne saurait être une fonction rationnelle de x avec une partie entière, si cette 

 partie n'est pas constante (on suppose A différent de zéro). Mais, en ordon- 

 nant la partie fractionnaire par rapport aux puissances ascendantes de jc, 

 on obtiendra un autre système d'équations, traitées aussi et résolues par 

 M. Liouville {Journal de Mathémaliques, 1840, p. 445-446), ^et désignant 

 par hx'' le terme de u le moins élevé, on trouvera que r est racine d'une 

 équation du degré p, + 1 et de la forme (p. — n)fi + ?r/, où p et 7 sont les 

 valeurs de dans l'équation Q{6 — i) — B, et 71 doit prendre toutes les 

 valeurs o, i, 2, . . ., p.. Comme ^ + / = i, il en résulte 



n r -^ n r — u. -\- n 



P = i 7 = ■ j 



' y. — 1/1 ' u. — ■2.11 



et, r devant être un nombre entier négatif, |3 et y seront deux nombres ra- 

 tionnels de signes contraires. Soit /S négatif : nous le changerons en — /3, et 

 nous aurons B = |3(|3 + i), avec p commensurable et positif. On a donc ce 

 nouveau théorème : u ne peut avoir une partie fractionnaire que si la quantité 

 B est réductible à cette expression. 



» Lorsqu'on a reconnu que u ne peut être une fonction rationnelle, on 

 fait j = e-'^"''*, ce qui donne 



.^ -'- = -. 



et on cherche les intégrales rationnelles de cette équation. On prouvera, 

 avec M. I..iouville [Journal de Mathématiques, 1841, p. 7-12), que |3 

 doit être non-seulement commensurable, mais entier. Si celte condition 



