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 n'est pas vérifiée, t n'aura pas des valeurs rationnelles, et jr ne sera pas 

 une fonction Jinie explicite de a:, excepté dans le cas de B ^ o ou |3 =: o. 

 » On applique ces résultats à l'équation 



d'v dv 



en faisant z = x", v = a:""'*'^')\ d'où il suit 



On conclut que, si g- n'est pas nul, u dans ce cas n'aura pas de partie en- 

 tière qui ne soit pas constante, et aura une partie fractionnaire seulement 



lorsque ia ) la ) pourra se réduire à la forme /3(j3 + i), /3 étant 



commcnsurable et positif, ce qui exige que a soit un nombre commensu- 



rable non compris entre - et -• Si a est incommensurable, ou compris 



entre - et-' u ne sera pas une fonction rationnelle, et j ne sera pas une 



fonction algébrique, ni même une fonction finie explicite de x. 11 s'ensuit 



que V ne sera pas non plus une fonction finie explicite de z. 



I 3 1 / 



» Dans le cas de g = o, et dans ceux de « = - et a = -5 l'équation est 



3 

 2 2 



intégrable. 



3 



» Si a est commcnsurable et compris entre - et -:. il faut différentier un 



d'v 



certain nombre n de fois l'équation entre v et r, et, posant — ;=: v', on ob- 

 tiendra 



^ 1^ + ("^ "^ ") ^ ~ »^ "" °' 



on peut aussi différentier n fois l'équation 



d-v' , , dv , 



et, posant '——, = v, on trouvera l'équation entre f et z. Mais, appliquant aux 



équations en v' la proposition démontrée, on peut affirmer que v' n'est pas 

 une fonction finie explicite, lorsque a -v n ou a — n est compris entre 



-et -»et en conclure que dans la même hypothèse v n'est pas non plus 



une fonction finie explicite. Ainsi l'équation proposée ne sera intégrable 



que si a se réduit à un nombre entier, positif, négatif ou nul, puisque, 



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