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 dans tous les autres cas, on pourra choisir n, en sorte que a±n soit com- 



pi'is entre - et -• 



^ 2 2 



» Si l'on fait A = 4o) ^— ('^"~ô)('^~o)'°" ^'"'''' 



et il s'ensuivra cette conclusion, qu'une telle équation n'est intégrable 

 sous forme finie que dans le cas de B = |3(/3 -i- 1), /3 étant un nombre en- 

 tier nul ou positif, ce qui est le théorème connu de M. Liouville. » 



GIÎOMÉTRIE. — iVo/e mr les courbes qui ont les mêmes normales principales ; 



par M. B. Niewexglowski. 



« En suivant la marche indiquée par M. J.-A. Serret, on peut démontrer 

 sans difficulté les réciproques des deux théorèmes dont il est question 

 dans la Note de l'illustre académicien (séance du 6 août 1877). 



» A cet effet, imaginons qu'à partir d'un point M d'une courbe gauche 

 on porte sur la normale principale une longueur constante MM, = l, et 

 considérons la courbe (M,) décrite par le point M,. On a, en conservant 

 les mêmes notations et en tenant compte de la condition dl = o, 



(i) ds^cos(/., — dscosa^^ — l{cosaclç -h coslch), 



et deux équations analogues. En multipliant ces trois équations par cosS, 

 cosï3,cosÇ, et ajoutant, on obtient 



ds, (cos«, cosç + cos|3| cos-i^ + cosy, cosÇ) = o : 



donc la droite MM, est normale à la courbe (M,). Je dis maintenant que, si 

 l'angle w des deux plans osculateurs des courbes (M) et (M,) aux deux 

 points correspondants M et M, est constant, les deux courbes auront les 

 mêmes normales principales. En effet, la condition dcosco =^ o donne 



cos«c?cosa, + cos«| dcosa + cosp<Ycos/3, 



+ cosp,r/cosp + cos-yf/cosy, 4- cosy, f/cosy = o; 



mais 



dcosff.f = cosS, d'y, dcosa, = cos|r/ff. . . , 

 donc 



d<7, (cosacosS, + cos/3cosï;, + cosycosÇ,) 



+ dij(cos(x, cos2 + cos|3| cosv7 -{- cosy, cosÇ) = o; 



