( 5o5 ) 

 » Si U est la fonction des forces, si l'on pose 



[ji,- = m^^ -f- /n, + Hij +. . .+ m,-, rf — £f + vjf + Çf , 



et si l'on prend ;??(,, qui représente le Soleil, comme unité de masse, les 

 masses des planètes étant considérées comme des infiniment petits du pre- 

 mier ordre, la fonction perturbatrice relative à la planète m,- sera 



^^ V; et elle est la même pour toutes les planètes, au facteur con- 



stant -^ — près; ce qui permet de ramener la seconde partie de l'analyse 



de Poisson à la première. 



» Poisson a essayé d'établir la propriété de l'invariabilité des grands 

 axes aussi pour les troisièmes puissances des masses [Mémoires de VJca- 

 démie (l?s Sciences, t. I, p. 55-67, année 1816), mais il n'a fait le calcul qu'en 

 faisant varier les éléments de la planète troublée; la complication qu'au- 

 raient eue les calculs, s'il avait employé la méthode qui lui avait servi pour 

 les carrés des masses, l'a empêché de compléter son travail, en faisant va- 

 rier aussi les éléments des planètes perturbatrices. D'autre part, dans son 

 analyse, il ne tient pas compte des termes de la forme Af cos(4i + w), qui 

 s'introduisent dans l'expression du grand axe, dès la seconde puissance des 

 masses ; ce qui fait que la conclusion de son Mémoire n'est pas exacte. 



» C'est en combinant la méthode de M. Tisserand et celle qui a été 

 suivie par Poisson, dans ce dernier Mémoire, que je suis parvenu à démon- 

 trer rigoureusement que V invariabilité des grands axes n'existe pas pour les 

 cubes des niasses. Voici, en abrégé, la marche que j'ai suivie : 



» La dérivée, par rapport au temps, du demi-grand axe a,-, est donnée 

 par l'équation 



dai 2 M; _ , 



dans laquelle «, est le mojen mouvement de la planète m,-, et 



M,- ^^, Y. 



Pi ,„ dV 



» Dans l'équation (i\ je fais d'abord varier seulement le facteur — 1 



en allant jusqu'aux termes du troisième ordre par rapport aux masses. 

 Par une série de transformations, et en remarquant que la forme de Mj^- , 

 jusqu'au premier ordre, est 2A cos(if -t- &j), et, jusqu'au second ordre, 



