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ANALYSE MATHÉMATIQUE ET GÉODÉSIE. — Sur une méthode générale de Irans- 

 Jormalion des intégrales dépendant de racines carrées. Jpplicalion à un pro- 

 blème fondamental de Géodésie. Note de M. O. Callaxdreau, présentée 

 l^ar M. Yvon Villarceau. 



« \a\ méthode consiste à transformer un radical dans une somme de 

 fonctions rationnelles. Il peut arriver que l'erreur résultant de cette substi- 

 tution soit très-petite et négligeable pour le calcid numérique. 



» Considérons, en parliciriier, les intégrales elliptiques pour lesquelles la 

 quantité sous le signe y est une fonction rationnelle de sinX, cosX et du 



radical A = v/i+ '^^ +" 2acos2X; cette quantité peut toujours, comme on 

 sait, être mise sous la forme 



G+-, 



G et H étant deux fonctions rationnelles de sinX, cosX. D'autre part - peut 

 être remplacé par la moyenne de n quantités ; 



;2 



où p = COS--Î COillO = o. 



J 1 _ «5,^ l -\- p' a.'' + Q.pa. COS l\ ' 2 



» On obtient la transformation précédente, en développant - suivant 

 les cosinus des multiples de X et remplaçant le coefticient de cos2 7/iX 

 ( on omet ici le facteur - j : 



i/o y/i + a^-l- 2a cosaX Jo \/ 1 — a' COS' 9 



(Briot et Bouquet, Fondions elliptiques, p. i/jiS) par le produit de la somme 

 des 4« valeurs de la fonction correspondant aux /\n valeurs de 6 



= ^ -^ —, (k=0, I, 2, . . . , /)« — l) 



et de l'intervalle commun — des arguments 9. 



in ° 



» Cela revient à dire qu'on prend une moyenne de n quantités : 



I r^~ cas-}.ii)\d\ a ^-( «""(— a)"" „6 - 



-/ -_ = - 2^— ' ■> avec />=C05--5 cos«6 = o. 



"Jn V r -I- a--t- 2acos2). " ■^^ \' 1 — y^a' ^ 



