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notations de la théorie des fonctions elliptiques, sous la forme suivante : 



g =[«(«+. )A^sn\r + /Or. 



k étant le module, n un nombre entier et h une constante. Lamé a montré 

 que, pour des valeurs convenables de cette constante, on y satisfait par des 

 polynômes entiers en snx : 



j = ■s,n"oc H- //, sn"~-.r + }u'àn"'''x -t- . . . , 



dont les termes sont de même parité, puis encore par ces expressions ; 



Y --= (sn"~'.r + //\ sn"''x -f- h'^siV-'-'x -h . . .)cnj:", 

 j- — (&n"~' X + //, sn"''\r + li\ sii"~^ .r -l- . . . )dn x^ 

 j = (sn"~-.r 4- l{\ sn""''.r + }l\'i^\\'^~^ x +. . .jcn^xdnjr. 



» M. Liouville a ensuite introduit, le premier, la considération de la 

 seconde solution de l'équation différentielle, d'où il a tiré des théorèmes 

 du plus grand intérêt. C'est également cette seconde solution, dont la 

 nature et les propriétés ont été approfondies par M. Heine, qui a montré 

 l'analogie de ces deux genres de fonctions de Lamé avec les fonctions sphé- 

 riqups, et leurs rapports avecla théorie des fractions continues algébriques. 

 On doit de plus à l'éminent géomètre une extension de ses profondes 

 recherches à des équations différentielles linéaires du second ordre beau- 

 coup plus générales, qui se rattachent aux intégrales abéliennes, comme 

 celle de Lamé aux fonctions elliptiques (' ). 



» Je me suis placé à uu autre point de vue en me proposant d'obtenir, 

 quel que soit /?, l'intégrale générale de cette équation, et c'est l'objet prin- 

 cipal des recherches qu'on va lire. On verra que la solution est toujours, 

 comme dans les cas particuliers considérés par Lamé, une fonction uni- 

 forme de la variable, mais qui n'est plus doublement périodique. Elle est, 

 en effet, donnée par la formule 



j = CF(x)+C'F(- a-), 



ou la fonction F(a), qui sati.sfait à ces deux conditions 



F(x + 2 K. ) = fJL F(x), 

 F(jc4- a/K') z^fj(.'F(.rj, 



(') Journal df M. Burckardl [Uchcr die Liiinoschcn f nnctionen ; Einige Eigenschaften 

 dur Laincschcn Funciioncn , ihiiis le t. 5!J , et Die Lameschcn Fanclionen vcrschiedcncr 

 Oidnitngcn, t. 57). 



