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 sera, quel que soit x, une fonction doublement périodiqne de z. Cela étant, 

 nous allons calcnler les résidus de ^(s), pour les diverses valeurs de l'ar- 

 gumeutqui la rendent infinie, dans l'intérieur du rectangle des périodes; et, 

 en égalant leur somme à zéro, nous obtiendrons immédiatement l'expres- 

 sion cherchée. Remarquons à cet effet que/(.r) ne devient infinie qu'une 

 fois pour X — o, et que, son résidu ayant pour valeur 



AH ( M ) 



H'Io) 



on peut disposer de A, de manière à le faire égal à l'unité. Posant donc, 

 en adoptant celte détermination, 



y(a:) = 



H(«)H(xl 



on voit que le résidu correspondant à la valeur z = a: de <I>(z) sera 

 — r(.r). Ceux qui proviennent des pôles de F(z) s'obtiennent ensuite 

 sous la forme suivante. Soit z — a l'un d'eux, et posons en conséquence, 

 pour £ infiniment petit, 



F(rt-i-£)--:r:A£-'-i-A,D.£-'+AjD;r'+ .. + \Ji'^î-' +ao-ha,E-ha.v-^- .., 



1.2 -^ ^ ' I .?. . . .a '>' ^ ' 



le coefficient du terme en - dans le produit des seconds membres, qui est 

 la quantité cherchée, se trouve immédiatement, en remarquant que 



et a pour expression 



kf{œ- a) + k,TiJ[x- a) + kMf[x -«) + .. .4 kj)lj{x-n). 



La somme des résidus de la fonction ^(z), égalée à zéro, nous conduit 

 ainsi à la relatioa 



Ç{x) = l.[kf[x ~ a)+ k,Ti4[x - n) + ..+ kJ):J{x - a)], 



où le signe 2 se rapporte, comme il a été dit, à tons les pôles de F(s) qui 

 sont à l'intérieur du rectangle des périodes. 



» II. La fonction F(jr) comprend les fonctions doublement périodiques; 



