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 en supposant égaux à l'unité les multiplicateurs p. et |x', je vais immédia- 

 tement rechercher ce que l'on tire, dans cette hypothèse, du résultat auquel 

 nous venons de parvenir. Tout d'abord les relations 



. — ^ + 3 / ;. K 



donnant nécessairement À =^ o et w = 2m K, ou, ce qui revient au même, 

 w :^ o, le nombre m étant entier, la quantité /[x] = — 7—, — ^ — - e de- 



' ' T -^ ^ -* H(w) H(.r) 



vient infinie et la formule semble inapplicable. Mais il arrive seulement 

 qu'elle subit un changement de forme analytique, qui s'obtient de la ma- 

 nière la plus facile, comme on va voir. Supposons, en effet, X = o et u infi- 

 niment petit, on aura, en développant suivant les puissances croissantes 

 de w, 



-T- k-- J 



— l 



6 aK 



u + 



d'où 



11 (x) H(x) 



-> ^ ' w H(.r 



H.r, 



2 l'y 



» D'autre part, observons que les coefficients A, A,, ... doivent être 

 considérés comme dépendants de co, et qu'on aura en particulier 



A = a -f- a'w -f- ..., 



a, a', ... désignant les valeurs de A et de ses dérivées par rapport à w pour 

 0) = o. Nous obtenons donc, en n'écrivant point les termes qui contien- 

 nent w en facteur, 



. j-, , a , H' ( X — a) 



kf[x — n) --_- - -!- a' H- a — ) :/ -h . . 



et, par conséquent, 



Ikfix -«):.= ' 2a -1 2a' + 2a ^'\'''~"\ + .... 

 •f ^ ' w H ( .T — a) 



» Oroii voitquelecoefficienL - disparaît, les quantités a ayant une somme 



nulle comme résidus d'une fonction doublement périodique, et la différen- 

 tiation donnant immédiatement, pour w - o. 



