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 ce qui montre une fois de plus combien la vérification des mouvements 

 propres est nécessaire aujourd'liui. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Forme générale des coefficients de ceiiains 

 développements. Note de M. D. Andké, présentée par M. Hermite. 



« I. Les coefficients que je considère sont ceux des développements, 

 suivant les puissances ascendantes soit de^, soit de x, d'une fonction très- 

 générale cp{x), qui comprend les fonctions elliptiques X(x), p.(x) comme 

 cas particuliers. Je regarde d'ailleurs cette fonction (p{x) comme définie 

 par l'équation 



(■) i^'.£=''». 



o 



dont le premier membre est celui d'une équatien linéaire d'ordre n, à coef- 

 ficients constants, et au second membre de laquelle représente un poly- 

 nôme quelconque, entier par rapport à la fonction y, à la variable x, à 

 l'indéterminée A et à des exponentielles de la forme e'"^. 



» II. Soient r, et V, les coefficients de k' dans les développements res- 

 pectifs, par rapport à k, d'abord de la fonction y, ensuite de l'expression 

 qu'on obtient en portant ce développement de ç dans le polynôme $. Il 

 vient 



o 



et, comme V,_, ne dépend que des v d'indice inférieur à t, dès que l'on 

 connaît tous ces i>, l'équation (2) devient une simple équation linéaire à 

 coefficients constants et à second membre; on sait donc l'intégrer, c'est- 

 à-dire calculer p,. C'est un moyen d'intégrer de proche en proche l'équa- 

 tion (i); c'en est un aussi de déterminer la forme générale de Vg. Il est, en 

 effet, évident que ('„, f,, v^ sont de la forme lG,je^''.X''. Or le mode de 

 calcul employé montre que, si cette forme est vraie pour i'^.,, elle l'est aussi 

 pour Vf C'est donc la forme générale de c,. 



» Pour étudier le développement de o [x) par rapport à x, je pose 



et, en même temps, 



