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» Le coefficient ô^ ,, que je regarde comme fonction de r, en supposant 



t constant, n'est, au signe près, que le coefficient de -^ dans c,. Donc 0^,^ 



est de la forme !,£,(/•)§;, dans laquelle 2,(7-) représente un polynôme entier 

 en /•; d'où il suit que 5^,, constitue le terme général d'une série récuri'ente 

 dont l'équaliou génératrice a pour racines les quantités g-,. 



» III. Dans le cas général où on Liisse à l'équation (1) son entière géné- 

 ralité, on ne peut guère préciser davantage les formes des coefficients Vi et 

 Qr.t'i mais, ilans chaque cas particulier, on peut déterminer et les limites 

 des 2 que présentent ces deux formes, et l'équation génératrice de la série 

 récurrente correspondant à la seconde. 



» Dans le cas, par exemple, de l'équation 



S + X = P(.X»-).), 



qui, jointe aux valeurs de X(x) et de sa dérivée pour x — o, définit la 

 fonction elliptique X(x), si l'on pose, comme on le peut, 



00 o 



on trouve, d'abord pour Uf, la formule 



Ut = y pij.x'-'sm{2J H- i)x -h y '/(./■■■ï"'^' cos(2/ -1- i)x, 



où pij, qij sont des coefficients constants et /, / des entiers non négatifs, 

 |)renant, dans le premier I, toutes les valeurs satisfaisant à la condition 

 ■il -h jh/, et, dans le second, toutes celles qui répondent à la condition 

 21 -+- i -r / : t; ensuite, pour Ur^i, la formule 



«M==^.Sy('-)(2/+'r, 



où Hy(/ j représente un polynôme entier en /■ du degré t — j; et enfin 



(Z - .^/--'.Z - 3-)'(s - 5-)' '... [Z - {lt + !)■- I --rr o, 



pour l'équation génératrice de la série récurrente dont a^,, regardé comme 

 fonction de /■, constitue le terme général. » 



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