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GÉOMÉTRIE. — Nouveau mode de représ enlation plane de classes de surfaces 

 îécjlées. Note de M. A. Mannheim, pésentée par M. O. Bonnet. 



« Le mode de représentation que je vais commencer à faire connaître 

 aujourd'hui permet d'arriver, d'une manière simple, non-seulement à des 

 propriétés déjà démontrées, ainsi qu'à des extensions dont il est question 

 dans la Lettre suivante que vient de m'adresser M. O. Bonnet, mais 

 encore à d'autres extensions nouvelles : 



« Vous avez annoncé l'intenlion de revenir, dans vos intéressantes éludes relatives aux 

 surfaces réglées, sur les propriétés de la surface lieu des normales principales communes à 

 deuï courbes. Vous m'obligeriez beaucoup, si vous mettez votre projet à exécution, de 

 vouloir bien signaler quelques réclamations de priorité que le manque d'occasion favorable 

 m'a jusqu'ici empêché de produire. 



» La formule que vous attribuez (') à M. Bertrand se trouve dans mon premier Mémoire 

 Sur la t/iéorie générale des surfaces, publié en 1848, p. i3S, I. 2; le théorème de M. P. 

 Serretest démontré p. i35, 1. i5, enfin la propriété donnée par M, Scliell résulte immédia- 

 tement des deux formules écrites p. 61, 1. 5 et c) en remontant. 



>i J'ajoute que les propriétés attribuées à MM. Bertrand et Schell, relatives à deux courbes 

 tracées sur une surface réglée, et qui sont à la fois lignes asymplotiqucs et trajectoires ortho- 

 gonales des génératrices, sont, dans mon Mémoire de i848, généralisées et étendues à deux 

 courbes qui ne sont que trajectoires orthogonales, et la généralisation consiste en ce que les 

 rajrons de courbure et de torsion, qui figurent dans les formules données par MM. Bertrand 

 et Schell, sont remplacés par les rayons de courbure et de torsion géodésique des nouvelles 

 lignes considérées. Quant au théorème démontré par M. P. Serrct, j'en ai donné aussi, il y 

 a longtemps, cette généralisation (Comptes rendus, t. XLVI, p. qo6). Soient a et b h s points 

 où une génératrice G d'une surface réglée est rencontrée par deux trajectoires ortliogunalcs : 

 l'angle des plans tangents en a et en b varie lorsqu'on passe de G à une génératrice infini~ 

 ment voisine de la différence des angles de contingence des sections normales à G aux points 

 a et b. Agréez, etc. » 



» Pour représenter ce qui concerne les plans tangents à une surface ré- 

 glée (G) pour une génératrice G, j'emploie une droite auxiliaire ('). 



(') Comptes rendus, séance du 5.3 juillet 1877. 



(') Rappelons la définition de hidroite auxiliaire. Soit un angle droit x o, y, l'axe o, / corres- 

 pondant à G et au point 0. Menons o,i' de façon (]ue xo,b' soit égal à l'angle des plans 

 tangents en b il k (G). Portons oi en o,b, et élevons à o,f la perpendiculaire o,b' : nous 

 obtenons b' . Les points analogues pour les difféients points de G sont sur une droite n,j> 

 cjui est notre droite auxiliaire pour G et l'origine o. 



Si on est égal à o,/î,, le plan tangent en est normal en n. Le segment o,p est la 

 moyenne géométrique des rayons de courbure de (G) en 0. Projetons o, en c' et ce point 

 en c, : en portant o,c, en oc sur G, on a le point central c. Traçons à partir de o la trajec- 



