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 que, (o) étant une ligne asymptotique de (S,), la caractéristique du plan 

 tangent en o est perpeiUliciilaire à G. Ainsi, pendant que a décrit un élé- 

 ment perpendiculaire à G, le plan tangent en a a pour caractéristique 

 une perpendiculaire à G : l'élétnent décrit par a appartient donc à une 

 ligne asymptotique de (S„). Ainsi : 



M Sui la normale principale G d'une courbe (o) il existe toujours un pointa 

 pour lequel la ligne asj'niplotique de la surface des normales principales de (o) est 

 perpendiculaire ci G. 



» En a les rayons de courbure principaux de (S„) sônl égaux et de signes 

 contraires. Nous désignerons par («) le lieu des points tels que a. 



» Puisque deux droites auxiliaires ne peuvent avoir deux points com- 

 muns sans se confondre, nous voyons que : 



» Si, sur une normale G, il y a, en dehors de o, deux points pour lesquels 

 tes lignes asymploliques de (SJ rencontrent G à angle droit, tous les autres points 

 de G jouissent de ta même propriété. 



» Supposons maintenant que toutes les droites auxiliaires relatives à une 

 surface (S,) passent par un même point a', c'est-à-dire que la courbe repré- 

 sentative soit ta plus simple de toutes, qu'elle soit réduite à un point : 



» On a alors, entre les inverses des coordonnées à l'origine de ces droites, 

 une relation linéaire. Désignons par p le rayon de courbure OiJii de (o), 

 par r le rayon de seconde courbure o^p, |)ar a le segment OiU^ et paru 

 l'angle poirt'; cette relation est 



lan^M ft 



— '■ (- - = I . 



r p 



» La courbe {a) est, dans le cas actuel, une trajectoire orthogonale de (S„) 

 et cette courbe, d'après ce qui précède, est une ligne asymptotique de cette 

 surface; ou encore (S„) est le lieu des normales principales de (o). On voit 

 donc que : 



» Si, entre les courbures d'une courbe, on a une relation linéaire, lesnormales 

 principales de cette courbe sont les normales principales d'une autre courbe. 



n On démontre facilement la propriété réciproque. 



» Parmi les droites auxiliaires passant en a', on doit signaler o^a' et 

 flifl'. A chacune de ces droites correspondent sur (SJ des génératrices le 

 long desquelles il y a un plan tangent unique. Ainsi : 



» Sur la surface formée par les normales principales communes à deux courbes, 

 il y a toujours au moins deux génératrices pour chacune desquelles la surface 

 admet un plan langent unique. 



