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 membre, puisque le premier terme de son développement est -i comme 



il le faut d'après la nature de la fonction )(_[x). Cette formule donne le 

 résultat cherché par un calcul facile; elle montre qu'en posant 



^(/K'+a)^.^ _iii£-l£î,r-ii},s^-..., 



on aura 



i2 = A"'sn"'&) „ — > . 



iî, =: A^ sn M en w dn o), 



iîo = A* su' w — .. ■ sn^oi — ,-_ '— , 



En voici une première application. 



» VI. Considérons, pour la décomposer en éléments simples, la fonc- 

 tion A- sn-j:/(jr), qui a les multiplicateurs de /(x) et ne devient infinie 

 que pour x = iYJ. On devra, à cet effet, en posant x = /K'+ s, former la 

 partie principale de son développement suivant les puissances croissantes 

 de £, que nous obtenons immédiatement en multipliant membre à membre 

 les deux égalités : 



_L- = l + i(r + /5:^)-i-.... 

 sn'E t' S ^ ' 



Il vient ainsi 



A»sn='(/K' + s)x(/K' + ■) = 1 +[l(, + r-J - ^iîjj + ■ •• 



= iD^- + [i (I + A-) - i/L=sn=.3] a- -. . . ., 



et l'on en conclut la formule suivante : 



A-sn=:rx(.rj .. 1 D.^x(-^) + [j (' ^- ''^^ ) - i Fsn^ '^] /(x). 



Elle montre que, en posant f = x("^)' "°"^ obtenons une solulion de 

 l'équation linéaire du second ordre 



dx 



- = [•xk'-'àvrx — 1 - A'^ -f- A-sn-M)r, 



qui est celle de Lamé dans le cas le plus simple où l'on suppose « = i , la 



1 lO.. 



