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constante /(.■= — i — k' -\- /r an" o) étant quelconque, puisque ojest arbitraire; 

 et, comme cette équation ne change pas lorsqu'on change x en — x, hi 

 solution obtenue en donne uneseconcle, r = X(~" ''^)^ d'où, par suite, l'in- 

 tégrale complète sous la forme 



A ce résultat il est nécessaire de joindre ceux qu'on obtient quand on rem- 

 place successivement o) par w + /K', m -4- K, w + K -h iK', ce qui conduit 

 aux équations 



ri' y / ,0 o l'y , I \ 



dx' \ sn^w/ ^ 



-4 = ( 2A-= sn=.r -- I — k- h- ' i*"" '''))-. 

 -4 = 2A." sn- X — I — A" -^ — r. 



dx^ \ cn-w 



La première, d'après l'égalité i[x, m + i¥J) — &(.r, «), a pour intégrale 

 et, en introduisant ces nouvelles fonctions, à savoir : 



/œ,(a?, w) r='j(x,M+ K), 



nous aurons, sous une forme semblable, pour la seconde et la troisième : 



j = C2),(,r) + C'o, (- jr). 



Les expressions de ©, (j?) et ;(, (a:) s'obtiennent aisément à l'aide des fonc- 

 tions 0, [x) — 0(x -I- R), H, (x) = H > + K) ; on trouve ainsi 



H', (o>) , .,.,. l'îTM 



M-^»"J- H,(«)0(a-) ^ 



x.(x, o>) = ">i";(- + "^ e-5S^-''''^"ï^'. 



'^'^ ' ' 0,(w)©(.r) 



Nous allons en voir un premier usage dans la recherche des solutions de 

 l'équation de Lamé par des fonctions doublement périodiques. 



» VIL Nous stqiposons à cet effet w =; o dans les équations pré- 

 cédentes, en exceptant toutefois celle où se trouve le terme ^^ qui 



