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 » 2. Les deux parties du théorème élant corrélatives, il suffit de dé- 

 montrer la première. Soit 



(,) 9(x,j)=.-o 



l'équation de la courbe donnée U','„, du m"'"" ordre et de la «'"'"■ classe. 



» Désignons par S,, ri les coordonnées d'un point quelconque du lieu 

 dont on cherche l'ordre : les relations qui lient ce point au point (^,7), 

 correspondant de Li",, peuvent toujours, par suite de l'élimination des 

 paramètres auxiliaires, se réduire à deux seulement 



JF, (^i_,r„x,r/£^ = o, 

 (F,(^=:,-,,a-,j,^j =0. 



(iy 



» Si l'on voulait avoir l'équation du lieu, ïï faudrait éliminer /jf, j-, -j^ 

 entre les équations (i) et (2), et l'équalion 



i3) ?. + ?r ^i = O- 



Mais nous cherchons l'ordre de ce lieu, et pour cela il suffit de déter- 

 miner le nombre de ses points d'intersection avec une droite quelconque 



(4) ni, + b-fi -^ c = 0. 



Or ce nombre n'est autre que le nombre des solutions en %, vj, x,y, — > 



qui vérifient le système des cinq équations (i), (2), (3), (4), ou encore le 



cly^ 

 djc 



nombre des solutions en :r, ^■, ^ ' vérifiant à la fois les équations ( i ), (3) et 



'^^1 = o. 



(5) ^(^•^^-^'T/.ry -"' 



obtenue en éliminant^ et 75 entre (2) et (4). Mais l'équation (5) définit un 

 syslème de courbes, doué de deux caraclérisliques, droite et point, a et (3, et 

 lié uniquement aux équations (2), c'est-à-dire aux conditions de la ques- 

 tion, indépendantes, par hypothèse, de la courbe U;". D'ailleurs chercher 

 le nombre des solutions de l'ensemble des équations (i), (3), (5), c'est, 

 au point de vue géométrique, chercher le nombre des branches de courbes 

 du système (5) qui touchent U"„ et l'on sait, d'après un théorème connu, 

 que ce nombre est égal à am + |3«. Donc, etc. 



)) 3. Voici maintenant l'énoncé d'iui théorème relatif aux surfaces al- 

 gébriques, et tout à fait analogue à celui qui précède : 



» L'ordre d'une surface algébrique, lieu géométrique d'un point mobile, 



C. K., 1877, '^' Semestre. (T, IXXXV, K" 19.) ^^3 



