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constamment lié à un point mobile s»?' une autre surface algébrique, et nu plan 

 tangent en ce point, par l'intermédiaire de conditions indépendantes de celte 

 deuxième surface, est une jonvlion linéaire et homogène de l'ordre, de la classe 

 et du rang de celte dernière. Il en esl de même de la classe d'une surface, enve- 

 loppe d^un plan mobile^ dont le mouvement esl déterminé de la même manière. 



» Ce théorème comprend, comme cas particuliers, les énoncés 111 et IV de 

 ma Communication du 23 juillet dernier ('). 11 se démontre fort simple- 

 ment, comme on va le voir. Il suffit d'ailleurs de démontrer la première 

 partie du théorème, la seconde s'en déduisant dualistiquement. 



» 4. Soit 



(i) ç(.r, 7-, r) = o 



l'équation de la surface donnée {ni, n, /), d'ordre m, de classe ii et de 

 rang/'. Désignons par ^, yj, Ç les coordonnées d'un point quelconque du 

 lieu dont on clierche l'ordre. Nous pouvons supposer qu'entre les équa- 

 tions de condition qui définissent ce lieu, on ait préalablement éliminé les 

 paramètres auxiliaires; ces équations se réduisent alors à trois : 



(2) FiÇ^,-^, 'Ç,Jc,j, z,p, 'j) = o, 



[ Fsd» -n, 'ç, x,r, 2, p, '/) = O' 



dans lesquelles nous supposons p = --^) q =:— • On obtiendrait évidem- 

 ment l'équation du lieu en éliminant Jc, y, z, p et q enire (i), (2) et 



(3) 



ç.;. -h qo\, --- o. 



Mais nous voulons seulement déterminer l'ordre du lieu en question, c'est- 

 à-dire le nombre de ses points d'intersection avec une droite quelconque 



(4) 



l rtj S -t- bf •/] -i- c, Ç -\- cï, = o, 

 I rto? + />2'^ 4- CoÇ 4- r/2 = o. 



Or ce nombre est manifestement égal au nombre des solutions en ^, vj, Ç, 

 .r, j, z, p, q du système des équations (i), (2), (3), (4), ou bien encore 

 au nombre des solutions en x, j-, z, p, q de l'ensemble des équations (i) 



Comptes rcnilui, t. LXXW, p. 216. 



