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 » La constante x^^ que j'ai introduite pour plus de généralité, et aussi 

 pour éviter qu'un pôle de V[x) se trouve sur le contour d'intégration, peut 

 maintenant sans difficulté être supposée nulle. Nous parvenons ainsi à une 

 première formule de développement : 



tr.nx 



2K H'(o)e(^-4-w) ^ e K 



ir H(u)0(.r) ^ . ,r , 



^ ' ^ ' sin— - w + 2«/K' 



2K ' 



dont les trois autres résultent, comme on va le voir. Qu'on change, en 

 effet, w en u + i¥J , on en conclura d'abord 



i-nx 



9.K H'{o)H(x+«) ---r ^ e» 



e 



^ ' ^ ' sin — -[w -t- 2« -I- I (K'I 



2K ' 



puis, en multipliant les deux membres par l'exponentielle, 



i'R(an-t-il.r 



2K. H'(o)H(a7H-M) _ ^ e ^k— 



TT 0(w)0(x) ^. Tr~. ] ^ ~' 



^ ' ^ 1 sin--[«+ 2/7 + 1 /K' 



» Mettons enfin, dans les deux formules que nous venons d'établir, 

 w + R à la place de R, et l'on obtiendra les suivantes, qui nous restaient 

 à trouver : 



aR H'(o)0,(.r+u) _^ c~K~ 



ir H,(u)0(j;) ~^ n , ,V 



'^1^1 cos—- «+2n/K' 



2K ^ ' 



2K H'(o)n,(j + »o) 



=2— 



e 



COS — — I M -I- 2 « -f- I ) / K' 



a K ' 



» Voici à leur sujet quelques remarques : 



» X. Elles sont d'une forme différenle de celles de Jacobi et l'on peut 

 s'en servir utilement dans beaucoup de questions que je ne puis aborder 

 en ce moment. Je me contenterai, sans en faire l'élude, d'indiquer suc- 

 cinctement comment on en tire les sommes des séries suivantes : 



IJKILV iTz(2ll-i-l)x 



où / (z) est une fonction rationnelle de sin — ^et cos — , sans partie en- 

 *' ^ ' 2K 2K ' 



tière et assujettie à la condition /(s + 2R) = —/(s). Il suffit, en effet, 



d'employer la décomposition de celte fonction en éléments simples, 



