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 C'est celle qu'on voit dans la lettre adressée à l'Académie 'des Sciences et 

 publiée dans les Comptes rendus du 3o juillet 1849; ^''"'' ^" introduisant la 



constante b = — > on peut écrire 



■7?',) q- — a 



SUl— - =. -^ . , 



3 K 2 ! 



- b b 



ît-w q--\-q^ 



cos -^ = 2 



2K 2 



et 



— 29'" cos^ + q-"" ={1 — q'"^'')[\ — </'"-*) 



Mais une faute d'impression, reproduite dans les OEuvres complètes, t. II, 

 p. 143, et dans le Journal de Crelle, l. XXXIX, p. 297, s'est glissée dans ces 

 formules. Les équations (3), (4), (5), (6) renferment en effet les quantités 

 V^(' -^l)f V7''(' + ?')) •••et y/q[i — q), \Jq^ [i — q^ ), ..., qui doivent être 



remplacées par K^qi^-^-q), s/q^i^ -^ q^), • . • et \jq{i—q), \/q^ii — q^), 



On peut d'ailleurs parvenir par d'autres méthodes à ces résultats impor- 

 tants. La suivante, qui m'a été communiquée par le P. Joubert, et dont 

 j'indiquerai succinctement le principe, est remarquable par son ciiractère 

 élémentaire et purement algébrique; elle est fondée sur la décomposition 

 eu fractions simples de ces deux expressions : 



z{z— g'-'') [z~f -*)... [z — f/' "-'-^)(i — (7'+*z)(i — q^+<-z]. . .(i — ^'"-i+'z) 

 (z — 7)(3-y^,...l3-ry-+')(i-y3)(i-7'z) ..[i-q"^'z) ' 



z{z — g'-'') {z — r/<-') . . . (s — 92—*) ( I — gi+iz) ( 1 — <7'+* i) . . . ( I — 9^"+'z) 

 (z — q)[z~ g'). . .[z — 9'-"+') (i — gz][i ~ q'z]. . .[i — g'"+'z) 



Le résultat obtenu, on fait ensuite grandir indéfiniment le nombre n, 

 et il ne reste plus qu'à développer chaque fraction suivant les puissances 



croissantes de q, en y remplaçant la variable z par l'exponentielle e " . 

 » Enfin, et en dernier lieu, je remarque qu'au moyen de la formule 



X 





qui a été le point de départ de mon procédé, nous pouvons très-simplement 

 démontrer les relations établies au § IV, p. 732 : 



«'0 



X e''(-) "" ^ ''-^ 



