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 dehors de la Cinématique, dans le doiiuiine de la Géométrie. Elles servent à 

 trouver le lieu de points dont chacun corresponil à un point d'une courbe 

 donnée, d'après une loi de construction absolument quelconque. Je définis 

 cette construction au moyen des longueurs x et j qui doivent être portées 

 sur la normale et la tangente en chaque point pour obtenir le point dé- 

 rivé. Ces deux paramètres sont des fonctions arbitraires, mais déterminées, 

 de l'angle de direction de la tangente «, du rayon de courbure p, de ceux 

 P\i p^i Pij • ■ • j Pp des p premières développées, de l'arc s de la courbe et 

 de ceux s,, 5^,5,, ..., j^ des «y premières développantes. 



» Cette recherche présente donc un double degré de généralité. Il ne 

 s'agit pas seulement en effet, comme dans les théories ordinaires de la 

 Géométrie analytique, de ramener à un type uniforme de forundes, quelle 

 que soit la coin'be donnée, la recherche d'un lieu bien défini; mais il faut, en 

 outre, résoudre la question par des relations qui restent les mêmes quel que 

 soit le mode même de construction qui définit le genre de lieu géomé- 

 trique demandé; et l'on vient de voir avec quelle généralité nous concevons 

 cette définition. Or c'est à quoi suffisent nos deux formules fondamen- 

 tales établies une fois pour toutes. 11 suffit d'éliminer w et p entre elles et 

 l'équation de la courbe fournie en fonction de ces deux variables. On ob- 

 tient ainsi entre les nouvelles coordonnées oj, et p, celle du lieu cherclié. 

 J'ajouterai d'ailleurs que, dans un grand nombre de cas très-étendus, 

 puisque l'une des deux fonctions or et r reste arbitraire, l'élimination se 

 trouve faite une fois pour toutes. 



» Inversement on peut se demander quelle doit être la courbe sur la- 

 quelle on doit exécuter une opération définie, mais quelconque, pour que 

 le résultat soit une ligne désignée à l'avance 



F ("nP.) = O. 



Il suffit d'y remplacer w, et p, par les expressions ci-dessus pour avoir 

 l'équation différentielle de la courbe cherchée. Elle est d'un ordre plus ou 

 moins élevé suivant la complication des fonctions x eij. J'en donne un 

 certain nombre d'exemples généraux que je ramène aux quadratures. 



» Ce sont enfin ces mêmes formules fondamentales qui, appliquées à la 

 recherche des trajectoires de points, des enveloppes de droites, et des lieux 

 de centres instantanés, permettent de traiter les questions de Cinématique 

 qui forment le but essentiel de ce Mémoire. » 



