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 sur quelques cas particuliers où les équations de la Dynamique peuvent être 

 intégrées. 



» Dès qu'on arrive aux intégrales algébriques d'un degré supérieur au 

 second, les équations aux dérivées partielles en L sont du troisième ordre 

 ou d'ordres plus élevés. 



» Ces équations, Bour n'a fuit aucune tentative pour les intégrer, et, en 

 effet, leur intégration complète paraît devoir être bien au-dessus des moyens 

 actuels de l'Analyse; mais elles présentent une circonstance extrêmement 

 digne d'attention : c'est que toutes, quelque élevé qu'en soit l'ordre, ad- 

 mettent des intégrales interiuédiaires parlictt Hères de tous les ordres infé- 

 rieurs au leur propre, et par ces mots : iiilégtales parlicuiières, nous enten- 

 dons, non pas de simples condîinaisons intégrables comme celles dont, 

 par une très-belle extension des méthodes de Monge et d'Ampère, M. Dar- 

 boux a appris à reconnaître l'existence, mais des équations à dérivées par- 

 tielles dont la solution générale appartient tout entière^ et dont, par suite, 

 toute solution particulière appartient aussi à l'équation d'ordre plus élevé 

 qui leur a donné naissance, tandis que les combinaisons intégrables (autres 

 que celles du premier ordre considérées par Ampère) n'ont, en commun, 

 avec les équations à dérivées partielles dont elles proviennent, quune de 

 leurs intégrales particulières. 



)> Je vais, dans cette Communication, vérifier le fait sur l'équation à dé- 

 rivées partielles du troisième ordre exprimant la condition pour que le 

 problème des lignes géodésiques admette une intégrale algébrique du troi- 

 sième degré. 



)) Cette équation donnée par Bour, étant développée, peut s'écrire ainsi : 



(i) JB3 + rRo + ^R, + 5R„ = o. 



en désignant, pour abréger, par ;•, 5, t les trois dérivées du second ordre 

 et par R3, R2, R,, R„ les quatre dérivées du troisième ordre de la fonction 

 inconnue L. 



» On vérifie de suite que cette équation admet, comme intégrale parti- 

 culière, l'intégrale générale de l'équation du premier ordre p -\- q ^=^ o. 

 Cela, toutefois, n'apprendrait rien d'intéressant et ne fournirait que les 

 surfaces applicables sur une surface de révolution. Mais je dis qu'elle 

 admet aussi, comme solution particulière, l'intégrale générale d'une cer- 

 taine équation à dérivées partielles du second ordre, de la forme 



{-) ^^(7'7) = °' 



ne renfermant que les trois lettres r, s^ t et homogène. 



