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 » En effet, différentions cette équation par rapport à a: et à 7". 



» En posant, pour abréger, -'= p, = '■■, et désignant par Vp et V- les 



deux dérivées partielles de V par rapport à p et t, il viendra 



(3) 



) VpR,- (pVp+ tV,)R, + V,Ro= o. 



» Pour que l'intégrale générale de l'équation (2) appartienne tout 

 entière à la proposée (1), il faut nécessairement que celle-ci soil simple^ 

 ment une combinaison des deux équations (3). 



» Cela exige qu'en tirant R,, et R3 de ces deux dernières, et portant 

 leurs valeurs dans l'équation (r, celle-ci devienne identique (' ); il faut 

 pour cela que l'on ait simultanément 



Vf-2pVpV,-TV.:==:0, 



\::-2-\^y,-pY:: = o, 



ou 



(3/.-.) Xi^^Z^^il^ltr). 



» Pour que cette équation multiple soit possible, il faut d'abord que 

 ses deux derniers membres soient égaux, c'est-à-dire que l'on ait 



(4) ^{p + z^-){. + p-)-{,-zpY=o, 



soit identiquement, soit en vertu de l'équation V = o. Comme elle n'est 

 pas identique, il faut qu'elle soit équivalente à V = o; en d'autres termes, 

 si la fonction V existe, elle ne peut qu'être égale au premier membre de 

 l'équation (4)- Faisons donc 



(5) v = /,(p + v)(T + p»)-(.-Tpr; 



alors les deux derniers membres des équations (3) sont bien égaux, mais 



il faut que la valeur du rapport -^) tu-ée de l'équation (5), soit la même 



que celle fournie par les équations (3 bis). Or, on vérifie sans difficulté 

 que c'est en effet ce qui se trouve avoir lieu, en vertu de l'équation (4) elle- 

 même. 



(') Pour que l'équation (2) admît seulement avec l'équation (i) une solution commune 

 renfermant une fonction arbitraire, il faiulrait, avec ]\1. Darboux, différentier <ffH.r fois 

 l'équation (2), une fois la projjosée, ce qui donnerait cinq équations entre les cinq dérivées 

 partielles du quatrième ordre, et exprimer que ces cinq équations linéaires se réduisent à 

 qualre. 



