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MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur C équation à dérivées partielles du quatrième 

 ordre, exprimant que le problème des lignes géodésiques, considéré comme pro- 

 blème de Mécanique, admet une intégrale algébrique du quatrième degré. 

 Note de M. 3Iaurice Levy. 



« II. En conservant les notations de notre précédente Communication, 

 cette équation peut s'écrire 



» On vérifie de suite qu'elle admet comme solutions particulières les 

 solutions générales : i" de l'équation du premier ordre p + q = o; i° des 

 équations du second ordre r ± ^ ^^ o. Cela, toutefois, n'apprendrait rien 

 de nouveau; mais je dis qu'elle admet aussi : i° une autre intégrale inter- 

 médiaire du second ordre; 2° une intégrale intermédiaire du troisième 

 ordre. Occupons-nous d'abord de découvrir cette dernière. Nous allons 

 montrer qu'elle est de la forme 



(2) W(p, T, R3, R2, R,, Bo) = o. 



» Différenliant, en effet, l'équation (2), et désignant par Wp et W^ les 

 deux dérivées de la fonction W relativement à p et à t, et par W3, W2, W,, 

 Wo ses dérivées, relativement aux lettres R3, Ro, R,, Ro, il vient 



W3 :t- +w, -— +w, -^.-, +w, 



(3) 



dx' "^ dx'dj ' dx^dy^ " dxdy' 



+ - [WpR, - (.0 Wp+ tW,) R, + W,R„] = o, 



dx^ dy '^ dx^dy dxdy^ 4> 



+ -[WpR,-(pWp+TW,)R, + W,Ro] 



» Pour que l'intégrale générale de l'équation W = o soit une solution 

 de la proposée (i), il faut que celle-ci soit une combinaison des deux 



dernières, et, comme elle ne contient pas la dérivée -j-^ — ;,» il faut qu'elle 



soit identique à l'équation obtenue en éliminant cette dérivée entre les 

 équations (3). Tous calculs faits, on trouve que cela exige que la fonc- 

 tion W satisfasse simultanément aux quatre équations à dérivées partielles du 



