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 » De là résulte, comme précédemment : 



» Siy pour une trajectoire orthogonale d'une surface gauche (G), on a la re- 

 lation 



a 



(1) *:^ + ^ = ,, 



il existe une autre trajectoire orthogonale des génératrices de (G), telle que les 

 plans tangents à cette surface, aux points où une génératrice est rencontrée par 

 ces deux trajectoires orthogonales, comprennent entre eux un angle constant, 

 quelle que soit celte génératrice. 



» 5/, sur une surface gauche (G), il existe deux trajectoires orthogonales des 

 génératrices^ telles qu'aux points oii elles rencontrent une de ces génératrices les 

 plans tangents à (G) comprennent entre eux un angle qui est toujours le même, 

 quelle que soit cette droite, on a. pour l'une ou l'autre de ces trajectoires, une 

 relation telle que (i) ('). 



» Démontrons encore, à l'aide de la figure, ce théorème dû à M. O. 

 Bonnet (^). 



» Les torsions géodésiques des trajectoires orthogonales [b] et (o) de (G), aux 

 points b et o, sont entre elles dans le rapport inverse des carrés des éléments inter- 

 ceptés sur ces deux trajectoires par G et par la génératrice qui est infiniment 

 voisine de celle-ci. 



» La torsion géodésique de (o) en o est — » qui est égal à -!— .• 



c, c 



» De même, pour la trajectoire [b), la torsion géodésique en b est 



ù, c' 



» Le rapport des torsions géodésiques en o ei b des trajectoires (o) et [b) 

 est donc =t et, comme ce rapport est égal au rapport des carrés des élé- 



0, c' 



ments compris sur [b) et (o), entre G et la génératrice infiniment voisine de 

 celle-ci (^), le théorème est démontré. 



)> Nous pourrions, comme je l'ai fait dans mes dernières Communica- 

 tions, considérer les surfaces gauches correspondant à des courbes repré- 

 sentatives simples; mais, après ce qui précède, nous n'ajouterons qu'un 

 seul exemple. 



C) Voir la Lettre de M. 0. Bonnet, insérée dans ma Communication du 29 octobre 1877. 

 (') Voir Mémoire su/- In thenrie gcnéralc des surface!:, p. 60. 



(') Voir Mémoire sur les pinceaux de droites [Journal de Mathématiques, 2' série, t. XIV), 

 la note an bas de la page 148. 



