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» Supposons que la courbe représenlalive soil une circonférence de cercle 

 décrite du point o, comme centre. 



■» Dans ce cas, à des points de (o) qui comprennent entre eux des arcs 

 infiniment petits égaux entre eux, correspondent des génératrices de (G) 

 comprenant entre elles des angles égaux. En tenant compte de la réciproque 

 de cette remarque, on voit facilement que : 



» Si une droite se déplace normalement à la trajectoire d'un de ses points o, 

 de façon que l'aire balayée par un segment de cette droite soit proportionnelle 

 à l'arc parcouru par o, elle engendre une surface réglée sur laquelle il existe 

 deux trajectoires orthogonales des génératrices, qui sont des cercles géodésiques 

 tels, qu'aux deux points oii ils rencontrent la droite mobile, ces courbes sont tou- 

 jours à angle droit. 



» Enfin, prenons comme origines des droites auxiliaires correspondant 

 aux génératrices de (G) une trajectoire quelconque de ces génératrices. 

 En conservant toujours les mêmes figures et les mêmes notations, mais 

 en ayant soin de se rappeler que o, p est maintenant égal à la moyenne 

 géométrique des rayons de courbure principaux de (G) en o, on trouve que : 



» Si un segment de droite de longueur a qui vient successivenient coïncider 

 avec les génératrices d'une surface (G), est tel que les plans tangents à celte sur- 

 face aux extrémités de ce segment conservent entre eux toujours le même 

 angle w, on a, pour l'une ou l'autre des courbes décrites par les extrémités de 

 ce segment, (a relation 



a 

 langta 



v/R,R. 



= I, 



dans laquelle n représente la distance comprise entre l'une des extrémités de ce 

 segment et le point où le plan tangent à (G) à cette extrémité est normal à cette 

 surface, et R, , R2 sont les rayons de courbure principaux de (G) à cette exti^émité 

 du segment. 



» On trouve encore facilement, à l'aide de la figure, les théorèmes sui- 

 vants : 



» Si un segment de droite peut successivement coïncider avec les génératrices 

 d'une surface gauche (G), de façon que les plans tangents à cette surface aux 

 extrémités de ce segment conservent entre eux toujours le même angle, le pr-oduit 

 des r'ajons de courbure principaux de (G) aux extrémités de ce segment est con- 

 stant {'). 



{') Ce théorème comprend, comme cas iiarliculier, un théorème que j'ai démontré dans 



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