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 communs aux deux connexes (6) et formés chacun d'un point et d'une 

 tangente de la courbe (i). En désignant par ju. et p/ les ordres respectifs des 

 deux connexes, c'est-à-dire les degrés des équations (6) par rapport à l'en- 

 semble des variables ar, ^', z, par v et v' les classes respectives de ces mêmes 

 connexes, c'est-à-dire les degrés des équations (6), par rapport à l'ensemble 

 des variables m, i', w, ou démontre aisément que le nombre des éléments com- 

 muns aux deux connexes et Jormés chacun d'un point et d'une tangente de la 

 courbe (i), supposée d'ordre m et de classe 7i, est égal à mn{p.v' -h p.'v). On 

 conclut de là la loi suivante due à M. Chasies : 



» L'ordre d'une courbe algébrique plane, lieu d'un point mobile, constamment 

 lié à un point et ci une tangente variables d'une autre courbe plane, par iintei- 

 médiaire de conditions indépendcmles de celte deuxième courbe, est multiple à la 

 fois de l'ordre et de la classe de cette dernière. Il en est de même de la courbe 

 enveloppe d'une droite mobile, dont le mouvement est déterminé de la même 

 manière. 



» Ce dernier théorème peut se démontrer par une voie plus directe, en 

 s'appuyant uniquement sur le théorème de Bezout et employant le rai- 

 sonnement qui m'a déjà servi à démontrer les deux premières lois données 

 par M. Chasies ('). La démonstration que je viens d'esquisser a surtout 

 pour objet de faire connaître le coefficient de mn, qui va nous être utile. 



» Supposons que la seconde des équations (6) se réduise à 



iix + vj -+- \vz = o. 



Elle définit alors ce que Clebsch appelle le connexe identique; à cause de 

 p,' = v'^i, le nombre précédemment trouvé devient mH(fJL + v), et il 

 exprime le nombre des éléments du connexe [p., v) formés chacun d'un point de 

 la courbe [i) et de la tangente en ce point, lequel est égal, comme on sait, à 

 npL ■+- mv. Cette déduction faite, il reste 



mn{iJ. -I- v) — 2///J. — iinv = n{m — 2) [j. -f- m[n — a)v. 



On conclut de là la loi suivante énoncée déjà par M. Chasies, sous une 

 forme un peu différente : 



» L'ordre d'une courbe algébrique plane, lieu d'un point inobile constamment 

 lié à un point mobile d'une autre coui^be plane, d'ordre m et de classe ?i, et à une 

 tangente à cette deuxième courbe issue de ce dernier points a une expression de 



(') Comptes rendus, présent tome, p. l34- 



