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 la numération binaire, en remarquant que 



2" + 1 = (1000... 01)2, 



c'est-à-dire deux chiffres r séparés par [n — i) zéros, et 



2" — I = (i 1 1... 1)2, 



c'est-à-dire le chiffre i écrit n fois l'un à côté de l'antre. Les nombres 

 2" ± I sont donc caractérisés dans le système binaire (') par ces deux 

 formes remarquables, et, nous appuyant sur cette observation, voici, en 

 quelques mots, l'exposition d'une méthode qui nous paraît s'appliquer heu- 

 reusement à la décomposition de ces nombres. 



» Imaginons un nombre premier A = 2« + i ; ce nombre, d'après le 

 théorème de Fermât, divise 2"" — i ou (2" — i) (2" + i). Écrivons A dans 

 le système binaire; si A divise a" -)- i, il faut que, multiplié par un certain 

 nombre que nous pouvons supposer écrit, lui aussi, dans le système bi- 

 naire, on reproduise la forme (1000... 01). Mais la multiplication de A se 

 fait par un simple déplacement de droite à gauche. Ou devra donc, par 

 une série de déplacements successifs et convenablement faits du nombre A, 

 arriver, par une addition, à la forme binaire (100... 01), ou à la forme 

 (i 1 1... i), s'il divise 2" — i. 



» Nous proposons donc d'écrire une table des nombres premiers dans 

 le système binaire, et, prenant l'un de ces nombres ainsi transformés, de 

 former avec lui un tableau concluant à l'une ou à l'autre des deux formes 

 précédentes. Si l'échiquier ainsi construit possède n cases, on aura trouvé 

 le plus petit nombre de Informe 2" + i, ou de la forme 2" — i, qui soit divi- 

 sible par le nombre considéré. Mais, si aucune des deux formes précédentes 

 n'a été obtenue, on saura du moins que le nombre premier sur lequel on vient 



(') M. Éd. Lucas, dans son Mémoire : Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de 

 Pise [Bullettino di Bibliografia e di Storia délie Scienze matematiche e fisiche, t. X, mars, 

 avril et mai 1877), a eu l'idée, qui nous paraît heureuse, d'employer le système binaire 

 à la décomposition des nombres 2"± i. Il annonce, p. 36, " qu'il a trouvé le plan d'un mé- 

 canisme qui permettra de décider presque instantanément si les assertions du P. Mersenne 

 et du baron Plana sur les nombres 



qu'ils considéraient comme premiers, sont exactes ». Le Mémoire de M. Landry prouve que 

 2" — 1 n' est pas premier : 



2" — i =636i .69431 .2o3944oi' 



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