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donnera les conclusions suivantes. Admettons d'abord les conditions I : les 

 trois différences 7 — P, a — 7, |3 — a seront négatives, et l'on trouvera 

 s ^= — e'e", £' =^ — £"£, £" = — ££'; mais sous les conditions II, ces mêmes 

 quantités étant positives, nous aurons £= e'e", £' = s";, £" = se'; ainsi, en 

 faisant, avec Jacobi , £ ^= — i, £' = + 1, on voit qu'il faudra prendre 

 £" — + I dans le premier cas et la valeur contraire £" = — i dans le se- 

 cond. Cela posé, et en convenant toujours que les racines carrées soient 

 positives, je dis qu'on peut déterminer un argument w par les deux con- 

 ditions 



d'où nous tirons ■ — - ^= \/'^- — -•■, ces quantités satisfont en effet à la rela- 

 cn to V 7 — P 



lion 



dn^w — A'-cn'u =-- k'-, 



comme on le vérifie aisément. Je remarque, en outre, que, cnw et dnw 

 étant des fonctions paires, on peut encore à volonté disposer du signe 



de o). Or, ayant '-^ = 5 nous fixerons ce signe de manière que, sui- 



vant les conditions I ou II, ^ — '- ■> qui est une fonction impaire, soit égal à 



( en M * ' ° 



+ \/'- OU à — 1/ -• Nous éviterons, en définissant la constante m 



comme on vient de le faire, les doubles signes qui figurent dans les rela- 

 tions de Jacobi; ainsi, à l'égard de a", b" , c", on aura, dans tous les cas, 

 les formules suivantes, où je fais pour abréger 11 = n[t — ^0) ■ 



,, cn« , „ <lnMSn« ,/ snw<ln/( 



a = j b = 1 c ^^ 



cnw en M i cnoi 



Enfin il est facile de voir que w = ?u , y étant réel; de la formule 



cnfïu, k) — — ■ — Tj-i on conclut, en effet, cn('j, k') ^^ \/ ? valeur qui 



^ ^ cn('j, A'J ' \ ' / y ,^ — ^ -1 



est dans les deux cas non-seulement réelle, mais moindre que l'unité. 



» XIV. J'aborde maintenant la détermination des six coefficients «, b, 

 c, a', b\ c' en introduisant les quantités 



A = rt -J- ia', B = è + ib' , C = c + ic\ 



et partant des relations suivantes : 



Aa" -+- Bè" -\- Ce" ~ 0, 

 /A — Bc"-+-Cè"= o, 



