( 992 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. ~ Sur les invariants. Noie de M. Sylvester. 



(c La théorie que j'ai exposée dans mes dernières Communications à 

 l'Académie repose sur le théorème suivant. Commençons par le cas d'une 

 seule quantique du degré /, fonction des variables x et^*, soit [a, b, c,..., Z,) 

 {x,y)'. Je nomme différentiant de cette quantique une fonction ration- 

 nelle et entière quelconque, qui retient sa valeur quand on substitue 

 pour les coefficients de Ja quantique donnée les coefficients de la quan- 

 tique qu'on obtient en substituant x -+- hy pour x. Alors le nombre de ces 

 différentiants de l'ordre j dans les coefficients et du poids w par rapport 

 à X sera égal à la différence entre deux nombres dont l'un est le nombre 

 de combinaisons dey quelconques des chiffres o. 1.2. ... i (répétées autant 

 de fois qu'on veut) dont lasommeest w, moins le nombre de combinai- 

 sons pareilles pour lesquelles la somme est (w— i). Nommons l'opérateur 



fi -77 -1- aè — + 3c -7- +. . = iL La condition nécessaire et suffisante pour 



db de dd r 



que D soit un différentiant est que iîD soit identiquement zéro. De là on 

 déduit facilement que le nombre des D linéairement indépendants, dont le 

 poids est w et l'ordre .y, soitD (iv ; i,jf*), ne peut pas être moins que la diffé- 

 rence dont j'ai parlé plus haut, soit la différence [\v : i,j) — {w — i ; i, j). 

 Si les équations contenues dans l'identité iiD = o sont indépendantes, la 

 valeur de D(u' : i,j) sera égale à (w : i,]') — (tv — i ; ?,/) ; si elles ne sont 



pas indépendantes, ce nombre sera p/ujç/ranrf que (tv; /,/) — (iv— i; i,j)- 

 M Dans une Communication que je viens d'envoyer au Journal de 

 M. Borchardt, j'ai réussi à donner une démonstration rigoureuse de l'égalité 

 deD(tv; /,y)à la différence citée qu'on peut nommer A(iV' ; /,y); car, si 

 cette égalité n'était pas vraie pour toutes les valeurs de w, en commençant 



par la plus grande possible, c'est-à-dire— ou — ■> alors on aurait pour 



cette valeur maxima de w 



D (w : /,/) + D (w - I : i, j) + D (iv - 2 : /, /) +- . . . + D(o : i,/) > {wi,f), 



laquelle inégalité ne peut pas avoir lieu, comme je le démontre par une mé- 

 thode très-belle et très-facile. C'est à M. Cayley qu'on doit l'énoncé de la 

 proposition D {w : i, /) = A(tv : i,j) ; mais ce grand géomètre n'avait réussi 

 qu'à démontrer rigoureusement l'inégalité D (tv : i,j) = ou > A {w : /,/). 

 » On avait même exprimé des doutes sur la vérité de la proposition, 



