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 désormais mise à l'abri de toute objection, D [w. i,j) = A{w. i,j). Passons 

 au cas de plusieurs quantiques {a, h, c...)(x,j)', [a, b, c'...)(a', y)'\ .... 

 J'ai étendu la méthode de M. Cayley à ce cas plus général. Par un procédé 

 analogue au sien pour le cas d'une seule quantique, j'établis la proportion 



D ( IV :/,/:/',/: ...) = ou Xiv :/■,/:/',/': . ..) - {w — i ■.i,j:i'.j' : .. ), 



où le premier membre de l'équation signifie le nombre de dilférentianls, 

 linéairement indépendants, appartenant au système de quantiques donné 

 de l'ordre y, j' , . . . , dans les quantiques successives et du poids w par 

 rapport k x'.[n'. i,j : i\ j : . . . ', signifiant, pour une valeur quelconque 

 de n, le nombre des combinaisons de/ des chiffres (o, 1,2, 3, ..., /), 

 ùe j' des chiffres (o, 1,2, . . . , i'), . . . , dont la somme réunie est égale à n. 

 Alors, par une méthode précisément identique avec celle que j'applique 

 au cas d'une seule quantique, je démontre que l'inégalité 



D (ip : /, / : i', i :...) + D {w - i : /,/ : /,/ : . .) h- . . . 



+ D (o : /, / ; /', y : . . .) > («> : /, / ; /', ;':...), 



oiî w représente la valeur maxima du poids w, ne petJl pas avoir lieu et 

 que conséquemment, pour /ou/es les valeurs de w, 



D (îv : /,;■ : /', /':...) = A {w : /,/ : ?',;' : 



» Donc la théorie de la construction de la fonction génératrice dont je me 

 suis servi reste aujourd'hui sur une base inattaquable. Mais, même en 

 l'absence de cette démonstration nouvellement trouvée, l'évidence de sa 

 vérité, fondée sur l'improbabilité a priori d'aucune dépendance sur les 

 autres équations de condition données par la formulefîD = o, conjointe 

 avec l'accord parfait des résultats obtenus, en les supposant indépendants 

 avec les résultats qu'on obtient par d'autres méthodes pour tous les cas où 

 l'on pouvait faire la comparaison, suffisait provisoirement comme démons- 

 tration morale delà vérité suppolée. Or, chose bien remarquable, une diffi- 

 culté de même nature revient quand on se sert de la fonction génératrice 

 non pas en l'appliquant au calcul du nombre des dérivées invariantes linéai- 

 rement indépendantes d'un type donné, mais en déduisant par son moyen 

 l'échelle des dérivées élémentaires ((/r»;îf//brme?ï). En un mot, la difficulté 

 qui, aujourd'hui, a disparu quant à la formation de la fraction géné- 

 ratrice subsiste encore quand on passe à l'interprétation de cette fraction 

 qui conduit à l'échelle de grundformen, mais avec une certaine différence. 

 Quant à la proposition qui vient d'être nouvellement démontrée, la diffi- 



