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 culte autrefois consistait à démontrer l'absence de rapports syzygétiques 

 quelconques. Mais, dans l'application dont je parle, on admet par nécessité 

 l'existence de certains de ces rapports, qui se ?r'i;è/en/ comme conséquence 

 de la loi élémentaire de toute combinaison algébrique d'invariants. L'hy- 

 pothèse que l'on fait, c'est qu'il n'existe pas de tels rapports (pour ainsi dire 

 cachés) en dehors de ceux dont l'existence est apparente. 



)i Si l'on voulait nier l'exactitude de cette hypothèse, voici ce qui arrive- 

 rait : les formes élémentaires [gnindformen) obtenues en ; l'admettant 

 ne cesseraient pas de subsister comme telles; seulement il y aurait la possi- 

 bilité (pour ainsi dire métaphysique) de l'existence d'autres en plus. Pre- 

 nons, par exemple, le cas de deux biquadratiques. M. Gordan en a donné 

 3o, dont j'ai démontré que 2 sont superflues : il en reste donc 28. La 

 méthode de M. Gordan ne suffit pas pour démontrer que ce nombre 

 n'est pas encore assujetti à une réduction au-dessous de 28; mais ma mé- 

 thode, au contraire, quoique laissant provisoirement peser un doute 

 métaphysique sur l'existence de plus de 28, n'en laisse aucun siu' la certi- 

 tude qu'au moins ces 28 subsistent. Donc on est assuré que les 28 en ques- 

 tion forment l'échelle fondamentale. La méthode de M. Gordan assure qu'il 

 n'y a pas plus que 28, la méthode anglaise qu'il n'y a pas moins que 28 in- 

 variants et covariants élémentaires; donc le nombre est 28, ni plus ni moins. 

 On comprend que l'incertitude dont je parle dans l'application de la mé- 

 thode anglaise n'est que provisoire et, pour ainsi dire, métaphysique; l'évi- 

 dence, à dire vrai, est accablante et ne peut laisser subsister aucun doute 

 moral que les rapports syzygétiques cachés ou latents, dont j'ai parlé, n'ont 

 aucun lieu dans la sphère de réalité. Cependant il semble bon de confirmer 

 ce postulatum, en donnant encore des exemples, comme je vais le faire, de 

 la conformité des résultats auxquels il conduit avec ceux qu'on obtient par 

 d'autres méthodes. De plus, on doit se rappeler que chacune de mes frac- 

 tions génératrices donne encore des résultats en dehors de la formation de 

 l'échelle fondamentale, qu'on ne sait pas obtenir par la méthode de M. Gor- 

 dan ni par aucune autre méthode connue. Elle donne absolument, et sans 

 suggestion à aucun doute métaphysique, le nombre total des invariants, co- 

 variants, etc., les mouvements indépendants de degrés et d'ordres donnés, 

 et, une fois la vérité absolue de la conclusion quant à l'échelle fonda- 

 mentale pour un cas donné étant ou admise ou prouvée par l'évidence 

 elle donne en même temps et immédiatement tous les rapports syzygé- 

 tiques qui peuvent lier ensemble les formes qui entrent dans l'échelle 

 fondamentale. Bien plus, non-seulement les grundformen ne sont pas 



