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deux équations ainsi obtenues et la première (9), éliminons R3 et Rq, il 

 viendra 



+ [ - <^'P^;' - (c= + 3^0)^; X ^- v:==] R, = o, 



où C est défini par l'équation du quatrième degré gj. 



» Pour que ¥'=0 soit effectivement une intégrale intermédiaire de 

 l'équation (9a), il faut et il suffit que les coefficients de R, et de R, de la 

 dernière équation soient séparément nuls, c'est-à-dire que, soit identique- 

 ment, soit en vertu de l'équation V= o, la fonction Y' satisfasse simulta- 

 nément aux deux équations à dérivées partielles du premier ordre 



- CpV,^ - (c^ + 3zc)x V. + y:- - o. 



» Posons, pour abréger, 



[c) v; : v. = ç. 



» Ces équations, ordonnées par rapport à C, deviennent 



(/) ÇC=-+- 2tÇC--1-Ç'C + /3Ç+t = o, 



(g) ÇC^+(3tÇ+pÇ=)C-i=:o, 



auxquelles il faut adjoindre 

 {h) C'-H 2tC'- upC- 1= o, 



qui définit C. 



» Le problème consiste maintenant à déterminer, s'il est possible, les 

 deux fonctions V et Ç de façon que les quatre dernières équations soient 

 satisfaites, soit identiquement, soit en vertu de V = o. 



« Examinons d'abord s'il est possible de déterminer Ç de façon que les 

 trois dernières soient compatibles. C'est une opération purement algé- 

 brique. Nous observons que ces trois équations en C peuvent avoir en 

 commun soit une, soit deux racines. Pour qu'elles aient deux racines 

 communes, il faut que chacun des polynômes (J) et [h) contienne le fac- 

 teur du second degré (g). Cela exigerait en général quatre conditions; 

 mais ici il se trouve que ces conditions se réduisent à deux. En effet, si 

 l'on divise le polynôme (J) par celui (g), le reste de la division ne contient 

 pas de terme indépendant de C, et se réduit à 



[Ç(fjÇ-f-T)(pÇ + 3t)-Ç= + i]C. 



