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 i> De même, si l'on divise le polynôme (h) par celui (g-), le reste de la 

 division ne comporte que le terme unique 



» Donc, pour que les trois équations (J), (g), {h) soient compatibles et 

 aient deux racines communes C, il faut et il suffit que l'on ait simultané- 

 ment 



j ?(,= ? + t)(pÇ+3t)-Ç = + 1=^0, 



» Ces deux dernières équations sont du troisième degré en Ç. Pour qu'à 

 leur tour elles aient une racine commune, il faut et il suffit que l'on ait 



(•'-p')[27(-'-*-p? -i6(tp -i)^J- o. 



» Nous laissons de côté la solution t- = p-, qui nous fournirait l'inté- 

 grale intermédiaire r = ± t, que nous avons déjà reconnue appartenir à 

 l'équation à dérivées partielles du quatrième ordre (i), et que l'on vérifie 

 facilement appartenir aussi à son intégrale intermédiaire du troisième 

 ordre (9a), en sorte qu'il reste 



(12) 2'j[z- — p^y — l6{Tp ~- lY = o. 



» Si cette condition est supposée remplie, la racine Ç commune aux 

 deux équations (11) est 



, ,. 3r(T-^-pM + 4T(pT-i; 



^ ' ^~ 3p(T»— p^)-4t(pt — l)" 



» Maintenant, la condition (12) n'étant pas remplie identiquement, ne 

 peut l'être qu'en vertu de l'équation ¥'.= o; en d'autres termes, si l'intégrale 

 intermédiaire du deuxième ordre que nous cherchons existe, elle ne peut 

 être que l'équation (12) elle-même, et la fonction V, si elle existe, ne peut 

 être que le premier membre de cette équation, en sorte que 



(i4) V'=27(t'-P^)--i6(t|5-i)\ 



» Nous avons ainsi déterminé les deux fonctions V et Ç de façon à sa- 

 tisfaire a\ix trois équations [f), (g), (A); mais, pour que ces fonctions con- 

 viennent, il faut qu'elles satisfassent encore à l'équation [c). Or, il se trouve, 

 comme on le vérifie aisément, qu'elles y satisfont, en effet, en vertu de 

 l'équation (12) elle-même. Cette équation ou celle 



27 (r- — t^)- — i6s-[rl — s-)- — o 



