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 peine aucune prise pour constrnire une ihéorie, ou pour mieux dire la 

 théorie qu'on consiruit s'épuise en quelques mots ; au contraire, selon 

 les idées constituantes de la méthode anglaise, ces deux cas mènent aune 

 théorie très-étendue et à des recherches du plus haut intérêt. En effet, 

 le premier cas est celui de la théorie des rapports syzygétiques de fonctions 

 des différences d'un nombre quelconque donné de quantités, théorie qui 

 doit réagir puissamment sur celles de formes de degrés quelconques ; de plus, 

 dans le traitement de l'un et l'autre cas, j'aurai occasion de donner une 

 solution de certains problèmes de l'Algèbre ordinaire de la plus grande 

 beauté, en faisant appel à des principes algébriques que je crois être d'un 

 genre tout à fait nouveau. 



» Commençons par le cas d'un système composé d'une forme linéaire 

 et d'une cubique. Le dénominateur de la fraction génératrice sous la forme 

 canonique sera 



(i _ ^■.)(, _ b-a-){i -ba'){i -ax){i -b^x-){\ -bx'), 



où a est le symbole pour la fonction linéaire, et b pour la cubique. Ainsi il 

 y aura six formes fondamentales primaires : 



» L'invariant et la hessienne de la cubique, les deux formes données, 

 leur résultant (typifié par ba^) et le résultant de la hessienne et la forme 

 linéaire typifiée par b'-a'^. 



» Le numérateur est 



i + a^b' ^(^^ab' — a'b'')x' 



-\-[a^b + nb^ + a-b'' - n''b^')x -\- {b" - a' b' - a" b' - a'b'')x' 

 -h {ab -+- ab^ — n^¥ — a^b'^)x^. 



» Les termes positifs ne perdent rien en étant assujettis au tamisage. Il 

 reste donc sept formes fondamentales secondaires : 



1 invariant typifié par 3.3.o 



3 covarianls linéaires a.i.i 1.2. i 2.3. i 



2 covaiiants c[iiadraticjues. . . 1.1.2 i.3.2 

 I covariant cubique 0.3.3 



ce dernier appartenant à la cubique prise séparément. 



» Prenons, en troisième lieu, le système composé d'une quadratique et 

 <l'une cubique. Le symbole a appartiendra à la première, ^ à la seconde. 



>» La fraction génératrice, sous sa forme canonique, aura pour dénomi- 



