( io5o ) 



)i Je supposerai d'abord que la courbe donnée ne présente, dans l'inter- 

 valle considéré, ni sommet, ni point de rebroussement. Ces cas particuliers, 

 fort importants par leurs applications, seront traités ensviite. 



>i 1° Jrc de courbe ne présentant ni sommet, ni rebroussement. — Soient : 



AB l'arc de courbe ; 



Aa, Bè les normales aux extrémités; 



ab l'arc de développée correspondant à AB; 



O le pied de la normale à AB, également inclinée sur ka et Bi; 



a l'angle de cette normale avec les normales extrêmes ; 



a l'angle d'une normale quelconque avec la normale en O. 



» Si l'on suppose tracé le cercle cherché, la distance des deux courbes 

 pourra être développée suivant les puissances entières de a; or, au degré 

 d'approximation que comporte pratiquement la question, cette distance 

 est une fonction du troisième ordre de a, puisqu'un cercle peut toujours 

 couper en trois points réels l'arc de courbe considéré; pour que cette fonc- 

 tion s'écarte le moins possible de zéro, quand a varie de — a à +a, 

 il faut, d'après un théorème de M. Tchebycbeff, qu'elle ait pour expres- 

 sion (' ) 



'■ — ; ^ • = «■* — T a- a. 



4 



» Cette quantité s'annulant pour a. égal à zéro, le cercle cherché passe 

 en O; la dérivée étant nulle pour a. égal à d= -, les deux normales com- 

 munes aux deux courbes sont fournies par ces valeurs, et l'on obtient ainsi 

 pour le tracé du cercle la règle suivante : 



» Prendre pour centre du cercle le point de rencontre des deux normales à 

 la courbe qui font, avec les normales extrêmes, un angle égal au quart de 

 iarigle total que celles-ci Jont entre elles, et faire passer le cercle par le pied 

 de la normale dont la direction est bissectrice des directions des normales ex- 

 trêmes. 



» Il est clair que l'on peut, dans la pratique, prendre pour centre du 

 cercle le point de rencontre des normales menées au quart de la longueur 

 de l'arc et faire passer le cercle par le milieu de cet arc. 



Bertraau, Calcul dijjcrenticl, p. 5 19, § 490» 



