( io6\ ) 

 X étant un polynôme entier qui ne devient pas nul entre les limites de 

 l'intégration, et G une fonction rationnelle quelconque. 



» Si a désigne un nombre inférieur à l'unité, le polynôme X peut tou- 

 jours, entre les limites considérées, être remplacé par l'expression 



I + «- — 2aY, 



Y étant aussi x^n polynôme entier, dont la valeur numérique est infé- 

 rieure à l'unité. 



» Jj'application de la formule 



I 1 '^ l — p'-a.'' 1 



y/l + a'— 2aY ^ " Zj y/|— />a' l+P'«-'' — 2/JaY 



réduit donc, avec un certain degré d'approximation dont on peut d'ailleurs 

 répondi'e, l'opération trnnsce?idanle d'intégration, ii l'intégration d'uiie somme 

 de fondions rationnelles, c'e.st-à-dire à une suite d'opérations transcen- 

 dantes plus simples, à savoir la recherche des racines des dénominateurs des 

 fractions rationnelles. Celte recherche sera facile pour les deux intégrales de 

 Legendre. 



» Je prendrai le dernier exemple dans la théorie des perturbations. 



» On sait que, dans la première approximation, les variations des élé- 

 ments de l'orbite de la planète troublée dépendent d'intégrales de la 

 forme 



P. 



A est la distance, au temps t, de la planète troublée et de la planète trou- 

 blante. Cette distance est celle qui a lieu dans l'hypothèse du mouvement 

 purement elliptique, et l'on trouve que A" est fonction entière de sinus et 

 cosinus, dont les arguments sont les anomalies excentriques des deux pla- 

 nètes; P est une fonction de forme analogue. 



» Pour prendre le cas le plus simple, considérons les deux orbites 

 comme circulaires, et supposons les plans confondus. Laplace, dans la 

 Mécanique céleste, développe le radical A qui est alors de la forme 



\à- -+- a''^ — zaa' cot>[l — Z'), 



suivant les cosinus des midliples de l — /'. Or ce développement, qui con- 

 verge bien, si a, «'sont très-différents, converge très-lentement dans le cas 

 contraire (SCHLOEMiLCH, Fonctions elliptiques, traduites par Graindorge, 

 p. 34, 35 et 46). On se trouve donc dans cette alternative, d'employer le 

 développement de Laplace, qui rend l'intégration immédiate, mais donne 



