prise à la critique, à c.inse de son usage forcé, on de s'en tenir aux réduc- 

 tions que permet la nature du problème. 



» Dans cet ordre d'idées, le problème serait ramené au calcul d'inté- 

 grales des deux formes 



rcosntdt r s'mnttlt 



I -f- a^ — 2 a eus /. / / I ^- X- — 2 a 



dt 



n pouvant être incommensnrable avec X. La théorie de ces intégrales ne 

 paraît pas avoir été jusqu'ici l'objet d'une étude spéciale. » 



MÉCANIQUE ANALYTIQUE. — Sur les inlé(/iriles ralioimelles du problème 

 des lignes géodésicjues; par ]\I. JJiÎAURiCE Levv. 



« Jusqu'ici on n'a giuM-e étudié, dans le problème des lignes géodé- 

 siques cansidéré comme problème de Mécanique, que les intégrales algé- 

 briques et entières par rapport aux composantes de la vitesse du mobile. 

 Toutefois, M. Bonnet, il y a quelques années, flans ses leçons de la Sor- 

 bonne, a traité le cas d'une intégrale fractionnaire dont le numérateur et 

 le dénominateur seraient linéaires par rapport à ces composantes. 



)' Ce cas, quoique très-particulier, a pris, entre les mains de M. Bonnet, 

 un véritable intérêt parle fini qu'il a su lui donner en trouvant la valeur 

 la plus générale du X pour laquelle une telle intégrale existe, et même cer- 

 taines surfaces correspondantes. 



M. Bonnet s'est occupé encore d'un antre cas d'intégrale fractionnaire: 

 celui où l'un des termes de la fraction est linéaire et l'autre le carré d'une 

 quantité linéaire. 



» Nous allons voir que le premier de ces deux cas, et plus généralement 

 tous ceux où les deux termes d'une intégrale supposée fractionnaire sont 

 de même degré, forment une classe en quelque sorte à part dans l'ensemble 

 des intégrales rationnelles. 



» Le carré de l'élément linéaire d'ime surface étant supposé mis sous la 

 forme ds- = 4X dxdy, le problème de la recherclie des lignes géodésiques 

 dépend de ladécouverle d'une intégrale de l'équation aux dérivées partielles 



du premier ordre ^ = H. 



» Si C est une telle intégrale, on doit avoir identiquement (H, C) = o. 

 M Supposons qu'il existe une intégrale de la forme 



