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n désignant un produit de n fadeurs de la forme (A,/j 4- 7)"', les A,étnnt, 

 ainsi que le coefficient [x, des fonctions indéterminées des deux variables 

 X et ^ et les exposants «j étant des nombres arbitrairement donnés. Si ces 

 nombres sont entiers et positifs, C sera luie intégrale algébrique et entière; 

 s'ils sont entiers et de signes quelconques, C représentera toutes les inté- 

 grales rationnelles par rapport aux composantes de la vitesse du mobile 

 et homogènes par rapport à ces composantes. Or ces intégrales homo- 

 gènes sont les seules qu'il y ait intérêt à chercher. On peut démontrer, en 

 effet, que, s'il existe une intégrale fraction rationnelle, la fraction formée 

 par l'ensemble des termes de degré le plus élevé dans le numérateur et 

 dans le dénominateur est elle-même une intégrale. Rien d'ailleurs, dans ce 

 qui suit, n'empêche de supposer les a,- fractionnaires ou incommensurables. 

 » Si l'on porte l'expression de C dans l'équation (H,C) = o, il vient, après 

 quelques réductions, 



clx f^ dy 



d^i c/IogA; f/logX f/log), 



V' V de ilr dx ' dr 



i~ 1 



» Pour que celte équation soit identiquement satisfaite, il faut que cha- 

 cun des deux premiers termes soit nul, ainsi que chacun des termes sous le 

 signe 2; de là 



(') * "■"" 



a: 



;£=="' -- ^;^-^°' 



,oN f/A, . /d\i . c/locX d]os).\ ,. .-, 



X 



dy ' \ d.c ' '■ dx ' dy j 



» Les deux premières donnent 



i—jt 



(4) p.= -Y, n^'' 



i— I 



X et Y étant deux fonctions arbitraires, l'une de la seule variable x, 

 l'antre de celle j^. 



» Si, au lieu des paramètres x eij, on prend deux nouveaux paramètres 

 "^1 ^^Jt-, respectivement fondions des deux premiers, ce qui ne change pas 

 la forme du ds-, il est aisé de voir que les fonctions X et Y deviendront 



