( 'oOy ) 

 respectivement 



» On pourra donc toujours disposer des paramètres x, et j, de façon 

 que les deux fonctions X et Y deviennent l'une et l'autre égales à l'unité, 

 excepté lorsque Ixi = o; dans ce cas le changement des paramètres n'influe 

 pas sur ces deux fonctions qui doivent demeurer arbitraires. 



)) Les cas où 2«,= o est précisément celui où les deux termes de la 

 fraction rationnelle qui forme l'intégrale sont'de même degré. A ce point 

 de vue, il constitue donc, comme nous l'annoncions plus haut, une classe 

 à part dans l'ensemble des intégrales rationnelles. Pour comprendre tous les 

 cas, nous laisserons donc les deux fonctions X et Y arbitraires. 



» Ajoutons les « équations (3) multipliées respectivement par a,Af~', 

 k étant un nombre entier positif ou négatif autre que — i ; il viendra en 

 posant 



(5) v.^.A,.= /î-u„ 



(6) :^^.),-^(,^,,,,3...,), 



qui fournit Ua+, quand on connaît U;;, de sorte que, si l'on connaissait U,, 

 en faisant, dans cette équation, successivement A = i, a, 3, ...,«— r, on 

 aurait tous les \]^. Or, en ajoutant les équations (3), multipliées respec- 

 tivement par —, on aura, en vertu de la seconde (4), 



rfU, , d]o'^l^^ dloi^l „ Y' 



-} 1 -. — IJ , H -, — lUi -h — ~ o, 



dx d.r dy ' Y ' 



équation linéaire en U, d'où l'on tire, eu posant pour plus de commodité, 

 comme l'a fait Bour, ). = 



d.v dy 



Y' dh d' L ^, 



il) u.^ -^ 



d.v dy 



» Cette formule se simplifie toujours; car, si 2ia,- -= o, le dernier terme 

 disparaît ; dans le cas contraire, on peut faire Y = ;. et c'est le premier 

 terme qui disparaît. Les équations (6) donnent alors successivement tous 

 les U^. Par suite, si entre les « équations (5) et la seconde (4) on élimine 

 les n indéterminées A,, on aura l'équation à laquelle doit satisfaire X ou L, 



