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neaii total, Laplace, sans calculer le premier membre de l'inégalité (i), 

 montre, par certaines considérations générales, qu'il doit être plus petit 

 que le second; l'équilibre est donc impossible dans ces conditions. 



» Plana est revenu sur ce sujet dans le premier volume de la Correspon- 

 dance astronomique du baron de Zacb; en assimilant l'anneau à un cylindre 

 homogène de très-petite hauteur, il a calculé le premier membre de l'iné- 

 galité (i), et, faisant une hypothèse sur l'épaisseur de l'anneau, il a montré 

 que le premier membre, loin d'être notablement phis petit cfue le second, 

 comme le supposait Laplace, lui était presque égal ; Plana en déduit que 

 la conclusion de Laplace sur la division de l'anneau paraît peu fondée. 

 J'ai repris le travail de Plana, en tenant compte des notions acquises de- 

 puis sur la masse et l'épaisseur de l'anneau de Saturne, et je suis arrivé à 

 prouver que l'équilibre est bien réellement impossible, comme le pensait 

 Laplace. J'ai calculé en outre quelle est la plus grande largeur que puisse 

 présenter un anneau simple, à diverses distances de la planète, pour qu'il 

 se maintienne en équilibre : tel est l'objet du présent travail. 



» Je commence par calculer l'attraction exercée par un cylindre circu- 

 laire droit homogène de rayon R et de hauteur ah, sur un point M exté- 

 rieur au cylindre, situé dans le plan xOj, également distant des bases. 

 Soient u la distance MA, A étant un point quelconque intérieur au 

 cercle R, AMO = 9; p la densité du cylindre à la distance OM; l'attraction, 

 évidemment dirigée suivant iMO, aura pour expression 



_. / r c r ^^ ''°' ? '^" ^'i ^^ 



-^^nn 



» Intégrant relativement à z entre les limites — A et + A, on trouve 



'*COS ip du '1^ 



^—^f""jJ7m- 



On peut intégrer relativement à ç, et, en remarquant que, pour une valeur 

 donnée de u, <f varie de — <p, à 4- 'f,, 9, étant déterminé par l'équation 



a' -t- u' — R- 

 cosaj, = ) 



' o nti 



on obtient 



■•a-t-R 



» Soient 



a - R =,a, fl H- R = /3j 



