( "5. ) 

 lignes géodésiques admette «ne intégrale de la forme 



(il) {q-i-Apf{q-^A,p) = C, 



où a est un nombre quelconque posilif ou négatif. Les formulos (7), 

 (7 bis) et celle de définition (5) donnent, en désignant les dérivées de la 

 fonction inconnue L par les notations habituelles, 



» Si, entre ces trois équations, on élimine A et A,, on aura l'équation 

 cherchée à laquelle devra satisfaire L. On voit que, quelque soit a, cette 

 équation sera toujours aux dérivées partielles du second ordre. 



» Dans le cas où a = — i, qui est celui étudié par M. Bonnet, on trouve 

 facilement, en prenant X et Y poiu- variables, au lieu de x et /, 



s= '^P'^ 



x-i-j'' 



nous ne nous arrêterons pas à cette équation, étudiée par M. Bonnet. 



» Le second cas, dont M. Bonnet s'est occupé, répond à a = — 2; 

 l'équation correspondante est l\[p -{- i) ~ p^x- ■+- 6pz -f- 3 = o, en suppo- 

 sant, comme on en a le droit, X = i , Y — — i . 



» Poura = 2on trouve précisément l'intégrale intermédiaire particu- 

 lière de l'équation du troisième ordre de notre première Communication; 

 pour a = 3 on trouve l'intégrale intermédiaire de l'équation du quatrième 

 ordre de notre avant-dernière Communication. 



« Ainsi, la première de ces intégrales intermédiaires répond au cas où 

 l'intégrale algébrique du troisième degré du problème de Mécanique 

 admet une racine double; la seconde, au cas où l'intégrale algébrique du 

 quatrième degré du problème de Mécanique admet une racine triple. 



» Il est facile maintenant de généraliser ce fait et de montrer que l'équa- 

 tion à dérivées partielles enX, exprimant que le problème des lignes géodé- 



i5i.. 



