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siques admet une intégrale algébrique et entière de degré quelconque /«, 

 comporte nécessairement autant d'intégrales intermédiaires particulières 

 qu'un polynôme, de degré ?i, comporte de combinaisons de racines mul- 

 tiples. 



» Soit, en effet, ïn= o l'équation en X exprimant qu'il existe une inté- 

 grale entière C. Si l'on demande, en outre, que cetle intégrale comporte 

 un certain nombre de racines multiples, cela suppose un certain nombre 

 de relationsentre les coefficients du ()olynônie C; et, comme ces coefficients 

 s'expriment eux-mêmes en X, cela exige que la fonction X satisfasse non- 

 seulement à l'équation de condition X„ = o, mais à un certain nombre 

 d'autres équations de condition X'„ — o, X", = o . . . . 



» Il semblerait, d'après cela, que les cas où il existe des intégrales algé- 

 briques et entières admettant des racines multiples soient très-exception- 

 nels, puisqu'ils ne peuvent se présenter que si la fonction X satisfait simul- 

 tanément à plusieurs équations aux dérivées partielles. 



» Mais, en recherchant directement de telles intégrales par la méthode 

 exposée dans notre dernière Communication, on voit, au contraire, que 

 leur existence ne suppose qu'une seule équation de condition en X, soit, 

 par exemple, X,= o, laquelle est d'ordre inférieur à l'ordre de l'équation 

 X„==o; donc l'intégrale générale de X/ = o est nécessairement solution 

 commune à toutes les équations X„ = o, X', = o, ... ; elle est, en particulier, 

 solutipn de la première de ces équations, dont elle constitue ainsi une in- 

 tégrale intermédiaire, ce qu'il fallait démontrer. 



« Ce fait n'est pas sans analogie avec celui qu'a signalé pour la première 

 fois M. Bonnet dans la théorie des surfaces triplement orthogonales. En s'y 

 prenant par la méthode de M. Serret, ou en partant, comme l'a démontré 

 .M. Darboux, des équations en H,- de Lamé, on trouve que, pour qu'une 

 famille, de surfaces puisse faire partie d'un système orthogonal, il faut 

 qu'une certaine fonction satisfasse siniuUanéinenl à deux équations aux déri- 

 vées partielles du sixième ordre ; tandis que M. Bonnet a montré qu'il suffit 

 que le paramètre de la famille de surfaces satisfasse à une équation unique 

 du troisième ordre. 



» Les raisonnements qui précèdent montreraient aussi bien que l'équa- 

 tion en X, exprimant l'existence d'une intégrale fractionnaire, admet né- 

 cessau'ement autant d'intégrales intermédiaires particulières que le numé- 

 rateur et le dénominateur de la fraction comportent de condiinaisons de 

 racines multiples. 



» Bour, dans son Mémoire sur ce sujet, pro|)Ose d'appeler surface de la 



