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F étant un anî^le aigu positif ou négalif, suivant que m'^^a^ et G un angle 

 positif, qui sora <^ ou > ^tt, suivant que la zone entourée par la po- 

 loïde comprendra deux ombilics ou aucun: c'est, en effet, ce qui revient 

 aux cas de Cr^^n ou de a^K'. La double expression 



H(/o-) \/0(h -h ir]e{" — 't) ±H(/t) y/0(« 4- '<7)0(" — 'Vl 

 H(/«r) v'0(h + iT)e{ii -^t) ±H(/t) v''©(" +/a-)0(« — 'o-) 



donne >., et Xa- L'étude de l'expression de (3) démontre que le mouvement 

 moyen des demi-axes de la section est donné par le terme multiplié par n, 

 et l'illégalité par l'autre, lorsque ij < R'; lorsque a > K', le mouvement 

 moyen et l'inégalité sont donnés par les mêmes termes en y changeant c 

 en (7 — aK'; et l'on trouve que, dans le second cas, le mouvement moyen 

 coïncide avec celui des projections des demi-axes v^i et v'^2î et dans le 

 premier avec celui des projections de y/a, et de l'axe instantané. 



» On peut tirerai de l'expression de la longitude [(j.) d'une droite quel- 

 conque OR, dont l'extrémité a ^,, ^21 ?3 pour coordonnées. Je trouve ainsi 



arctang 





-I- 





O3 ^! 



'"1 ■'>■'[ ïl 



niiX^c. 



"1 



«■, - 



■>i 



^)]=W. 



et je donne aussi l'expression développée de (p.). Comme ^,, S,, ^3 sont 

 fonctions arbitraires de m, on voit l'infinité déformes qu'on peut donner 

 à l'expression (2) de d/. 



» En faisant coïncider OR avec \/n,, y^rtj, y'rts et avec l'axe instantané, 

 on obtient leurs longitudes p.,, fXo, JJL3, p. et l'on a 



(4) 



(J; = (j-r — arctang 



nu Or — /, . m, 

 r- = u. — arc tanîr — 



m, Or — >.- ' ^ m, 



» Ces quatre expressions de <^ contiennent les principaux théorèmes 

 sur la transformation et sur l'addilion des paramètres des intégrales ellip- 

 tiques de troisième espèce, mais sous une forme nouvelle, à cause des 

 termes circulaires. 



» Le mouvement des projections des axes du corps et de l'axe instantané 

 a été déterminé par Jncohi : leurs inégalités sont données au moyen 

 d'une constante a, qui se trouve liée avec nos quantités par l'équation 

 G -{- - = in; mais aux expressions des mouvements moyens concourent les 

 moments d'inertie du corps. Au moyen des quantités a etz, elles acquièrent, 

 comme on a vu, une forme plus homogène. Si nous posons a — t ^= 2^, 

 les constantes du problème a,, a^, (i^, '"3 se transforment on n, b, c, A. 



