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M. Lie désigne sous le nom de transfonnalioits de conlact, à cause de la pro- 

 priété dont elles jouissent de conserver, dans les figures auxquelles on 

 les applique, tous les conlacts au-dessous d'un ceilain ordre. Eu me 

 bornant aux transformations qui conservent les contacts du premier ordre, 

 je me propose de déterminer, dans cette Note, les caractéristiques du 

 système déduit, par une pareille transformation, d'un système (|7., v,(5) 

 donné('). Par suite des liens qui existent entre les systèmes de surfaces 

 et les équations aux dérivées partielles du premier ordre, le problème de 

 Géométrie que je viens d'énoncer se rattache à la question du chan- 

 gement des variables dans les équations aux dérivées partielles. 



» THÉORÈ.ME. — Si l'on fait subir à un syslème {[J., y, p) de surfaces une 

 Iram formation de contact^ telle cjuà un point, à an plan et à une dioile, d'ail- 

 leurs quelconques, de la figure transformée, il corresponde respectivement, dans 

 la figure primitive, tme surface d'ordre m, de classe n et de rang r, une surface 

 d'ordre m', de classe n' et de rang i', et une courbe d'ordre p et de classe </('), 

 les caractéristiques p.', v', p' du système transformé sont données par les for- 

 mules 



p! = np. -\- ui'j + /'jS , 



y' = n'p -I- ni'v + r' p , 



p'= ,iij.+ pp. 



» Pour démontrer la première de ces relations, il suffit de remarquer 

 qu'a chacune des p.' sinf'aces du système transformé qui passent par un 

 point O arbitrairement choisi il correspond une surface du système 

 (p., V, p), qui touche la surface (??/, n, r), correspondant à O, et récipro- 

 quement. Le nombre p.' des surfaces du nouveau syslème qui passent en O 

 est par suite égal au nombre des surfaces du premier système qui touchent 

 la surface (m, w, /), c'est-à-dire, d'après un théorème connu (^), à 

 n p. -h niv -^ r fj. 



» La seconde relation se démontre par un raisonnement identique au 

 précédent. Pour établir la troisième relation, il n'y a qu'à observer que les 

 surlaces du nouveau système, qui touchent une droite D quelconque, cor- 

 respondent une à une aux siu-faces du système primitif, qui touchent la 

 courbe {p, </), dont D est la transformée. Or le nombre des surfaces du 



^'J J'ai tiailé la même question pour les systèmes de courbes planes, dans une Note 

 insérée dans le Bulletin de la Socicté Philomalhique (année i8^ô), G"' série, t. XIII, p. ni. 

 (') Ordre de la développaliie dont la courbe considérée esl l'arête de rebrousseraent. 

 (^) Comptes. rendus, t. LXXX, p. 170. 



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