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M La deuxième relation, obtenue en égalant à zéro le coefficient de X, 

 renferme oc, y, z; c'est nne relation entre les coordonnées d'un point quel- 

 conque de la corde commune à la conique polaire de Mo et à la conique 

 osculatrice; cette condition est 



(7) P'A'^R,-A'R3 = o. 



» Les autres relations, obtenues en égalant à zéro les coefficients des 

 autres puissances successives de X, suivant qu'on veut que Tordre du con- 

 tact soit plus ou moins élevé, renfermeront toutes .r,j, z (xo,jo> Zoî -^o 

 j,, z, sont maintenant des quantités connues); il faudra que ces relations 

 soient vérifiées par toutes les valeurs de x,j, z, qui satisfont à la rela- 

 tion (7), c'est-à-dire que le premier membre de chacune de ces relations 

 devra être divisible par le premier membre de l'équation (7). 



)> 3. application aux courbes du troisième ordre. — Dans le cas des 

 courbes du troisième ordre, l'équation (3) devient 



(1°) P?Y» + A'PJXY* + A-PJX=Y + P'X' = o, 



et l'on a, en outre, 



(2°) P^ = (p. 



Pour que la conique rencontre la courbe cp en six points confondus, c'est- 

 à-dire ait avec elle un contact du cinquième ordre, on a à satisfaire aux 

 trois conditions : 



(30) ^^'p?=^â+^".^-^^S=°' 



A^p-(-£-^-j+4r=o- 



» La première égalité exprime que le point {jc,,j-,, z,) est sur la courbe ; 

 la deuxième équation, qui est celle de la corde commune, définit la tan- 

 gente à cette courbe en {se,, j-,, z,). La dernière des équations (3°) est 

 celle de la conique polaire du point {jc,, jt, z,) par rapport à la courbe 9 ; 

 or cette équation doit être vérifiée par toutes les valeurs de jc, y, z qui 

 satisfont à la deuxième des équations (3°), ce qui revient à dire que la 

 conique polaire du point (j:",, j^,, z,) se réduit à deux droites dont l'une 

 est la tangente en (j:-,,j)"„ z,);ce point est donc un point d'inflexion pour 

 la coiu-be proposée. Nous avons ainsi les propriétés suivantes, dont la plu- 

 part sont connues : 



