( i43 ) 

 blenient choisie. Toute racine double satisfait nécessairement à l'équation 



(17) F(z)/'(z)-/(z)F'(r.) = o, 



qui détermine les coordonnées de 2.[p — t) points doubles 



» Chacun de ces points J fait doublement partie d'un groupe de points 

 M, correspondant à une position déterminée I du point directeur L. 



» Toute racine de l'équation (17) rend maximum ou minimum la frac- 



lion jTTTT et, par suite, la fraction 



f.. /(c)-VF(.) _y(3), 



il en résulte que chacune des expressions 



MM', , mm; , ■ ■ . , MM'„ 



MM",, mm;,. . ., MM';' 

 tang(M', mm; + IM'.MM'; + . . . -f- M',, MM;), 



devient maximum ou minimum lorsque le point M coïncide avec un point J. 

 Les points doubles représentent, par conséquent, ce que j'ai appelé les om- 

 bilics des groupes M' et M" [Compte rendu du 18 novembre 1872). 



» Comme X' et X" représentent deux valeurs arbitraires de la frac- 



fi~) 

 tion Çfzi^ on psut regarder les M' et les M" comme deux groupes quelcon- 

 ques de racines de l'équation (2). Ainsi les ombilics de deux groupes de points 

 racines coïncident toujours avec les points doubles de la fraction rationnelle. 



» Propriété remni-quable des otnbilics. — La figure formée par deux groupes 

 de points (M') et (M") et leurs ombilics (J) conserve ses propriétés lors- 

 qu'on lui fait subir une iransformalion rationnelle d'un degré quelconque. 



)) Soit, en effet, 



(19) 



F,(n 



une fraction rationnelle au moyen de laquelle on fait correspondre q va- 

 leurs de Ç à chaque valeur de z. 



» Le groupe de p points (M') se transforme en un groupe de pq points 

 (N'), que l'on détermine en égalant à zéro le polynôme 



M ?.(?) = [F.lOl^f^]- 



De même le groupe de p points (M") se transforme en un groupe de pq 



