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points (N"), que l'on détermine en égalant à zéro le polynôme 



(^0 +.(?) = [F. (OF^ftIJ)]- 



Divisant membre à membre les équations (20) et (21), en tenant compte de 



la formnie (19), on trouve 



(22) tl^^îlÛ. 



Si une valeur de z rend le second membre maximum ou minimum, cha- 

 cune des q valeurs correspondantes de Ç rend également !e premier membre 

 maximum ou minimum,- par conséquent chaque ombilic des groupes (M') 

 et (M") se transforme en q ombilics des groupes (IN') et (N"). » 



THÉORIE DES NOMBRES. — Théorèmes d'Analyse indéterminée. 

 Note du P. Pépin, présentée par M. Hermite. 



« Les cas où l'équation indéterminée fiX' -+- bX' = Z^ n'admet pas de 

 solution rationnelle sont fort nombreux , même quand l'équation 

 ajc' H- hj- = z^ est résoluble en nombres entiers. Néanmoins on ne con- 

 naît encore qu'un petit nombre de théorèmes sur ce sujet. Fermât a dé- 

 montré que la somme ou la différence de deux bicarrés n'est jamais un 

 carré; Euler ajoute l'impossibilité d'obtenir un carré en ajoutant un bi- 

 cari'é au double d'un bicarré. On peut encore obtenir quelques théorèmes 

 analogues par la méthode de Fermât, quand a = i; mais si les deux coef- 

 ficients a et b sont inégaux et différents de l'unité, il faut recourir à d'au- 

 tres moyens pour reconnaître l'impossibilité de l'équation proposée. Pour 

 cette raison, comme aussi à cau.se de leur généralité, les théorèmes que je 

 propose pourront intéresser les géomètres qui se sont occupés d'Analyse 

 indéterminée. 



» I. Si l'on désigne par p un nombre premier égal à la somme de deux 

 carrés, dont l'un, le carré impair, soit multiple de 9, l'équation 



px' — ^Gj-' = z" 



n'admet pas de solution rationnelle. Ainsi, par exemple, les équations 



73x'- 36/^ = 2-, 97^-^-36;' = z-, ioç)x* -36j'' =^ z-, 

 iSix'' — Z6j''' ^= z-, 22gjc'^ — 36}'' = z-, 241 X* — 36jr'' = z-,... 



sont toutes impossibles en nombres entiers. 



» II. Si p désigne un nombre premier de la forme gin- -+- 10/2^, tel que 

 19» 9'' 24i> 499^571, 649,..., l'équation 



px' - goj' = z- 



