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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Propriétés géométriques des fractions rationnelles. 

 Note de M. F. Lucas (*), présentée par M. Resal. 



« Trajectoires infinitésimales. — Reprenons la transformation définie par 

 la fraction (i) 



et désignons la dérivée de celte fraction par H. 



» Si X reçoit un accroissement infinitésimal e, z prend un accroissement 

 correspondant u., et l'on a généralement 



(23) Yiu=-.i. 



Par conséquent : Si le point directeur décrit un contour fermé infinitésimal, les 

 points du groupe correspondant décrivent en général des contours exactement 

 semblables. 



» Cet énoncé cesse d'être exact si le point directeur se meut autour d'un 

 point I, auquel correspond un groupe contenant un point double J. Dans 

 ce cas particulier, la dérivée H s'annule pour la coordonnée du point J; 

 en désignant par K la dérivée seconde, on a 



(24) Kir = £. 



» A chaque position L du point directeur dans l'extrême voisinage de I 

 correspondent, dans le voisinage de J, deux points symétriques M, et Mj. 

 Le segment M, Mo est proportionnel à la racine carrée du rayon vecteur IL; 

 si ce dernier tourne d'un angle w autour du point I, la droite M, M^ tourne 



d'un angle -autour du point J. 



» Si L décrit, autour de I, un contour fermé infinitésimal, la droite M, Mj 

 tourne de l'angle n autour de son milieu J, et reprend finalement sa lon- 

 gueur primitive; il en résulte une permutation des positions initiales des 

 points M, et Mo. 



» Trajectoires fmies. — Si Ij passe par I en décrivant un élément recti- 

 ligne, chacun des points M, et Mo décrit successivement deux éléments rec- 

 tilignes perpendiculaires entre eux. On obtient par conséquent en J deux 

 points saillants ou anguleux, symétriques relativement à ce point et dont la 

 réunion forme un point multiple. 



« Si l'on fait décrire au point L une circonférence finie passant par T, deux 



(*) Voir Comptes rendus, séance du 12 janvier 1874» P- i4o Je ce volume. 



